《几何概型(第一课时)》的教学设计

1《几何概型（第一课时）》的教学设计江苏省太湖高级中学蔡旭林214125教学内容本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（苏教版）必修3第3章《概率》第3节内容.教材的地位与作用概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用.本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法.本小节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用.三维目标知识与技能了解几何概型的意义，会求简单的几何概型事件的概率.过程与方法通过学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别.情感、态度与价值观通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯.教学重点几何概型的基本特点及“测度”的寻找.教学难点从实际背景中找测度.课时安排1课时教学过程一、创设情境，导入新课问题情境一：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？（教师演示绳子）问题情境二：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环？从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶星是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？（播放flash动画）设置意图：这两个问题都来自于日常生活中，特别是当第二个问题提出时，学生们会跃跃欲试.根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会被极大的调动起来.二、师生互动，意义建构经过分析，在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解.通过学生的讨论，解决以上两个问题并不困难，解决之后，教师向学生介绍“测度”这一新名词（不必深究）.学生只需要知道第一个问题中的测度是指（线段的）长度，第二个问题中的测度是指（圆的）面积.教师提问：由以上两个问题，你觉得此类问题与古典概型相比有何特点？如何求此类问题的概率？让学生分组讨论，教师适当点拨.引出几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解与记忆.帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延.几何概型的概念及概率计算公式对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而2该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometricprobabilitymodel）.一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率()dPAD的测度的测度.说明以下两点：（1）D的测度不为0；（2）区域为“开区域”，不包含边界点.接着教师提问：（1）当d内只有一个点时，d的测度是？（2）当D分别是线段、平面图形时，相应的测度分别是长度、面积，那么，当D是立体图形时，测度应该是什么呢？（3）完成下表古典概型几何概型所有的基本事件（是否有限）每个基本事件的发生（是否等可能）每个基本事件的发生的概率概率的计算公式设置意图：设置表格是让学生明确几何概型与古典概型的区别与联系，进一步理解与掌握几何概型.三、数学应用（一）例题教学例1取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.解记“豆子落入圆内”为事件A，则22()44圆面积＝正方形面积aPAa答豆子落入圆内的概率为4.拓展引申向正方形内撒n颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m，你会估算的值吗？（在课堂上师生共同推导出“4mn”，然后则由教师给出网址：，“用Excel来模拟撒豆子试验”留给学生课后去探究.）点评解题时先判断是否符合几何概型的条件，再找出测度，本题中的测度是面积.例2在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？分析病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），取得10mL种子可视作区域d，所有种子可视为区域D.解取出10mL麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A，则101()1000100PA取出种子的体积＝所有种子的体积3绿黄绿绿红绿黄答含有麦锈病种子的概率是1100.点评经过分析本题符合几何概型的条件，测度是体积，注意书写的规范性.例3在等腰直角三角形中ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.分析点M随机地落在线段AB上（符合几何概型），故线段AB为区域D.当点M位于右下图中线段'AC内时，AMAC，故线段'AC即为区域d.解在AB上截取'ACAC．于是'()()PAMACPAMAC'ACABACAB22.答AM小于AC的概率为22.变式在等腰直角三角形中ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率.解析由题意，射线CM在ACB内等可能分布的（符合几何概型），在AB上取'ACAC，则'67.5ACA?o，故满足条件的概率为67.53904=.点评例3也符合几何概型，测度是线段的长度，变式的难道稍大一些，关键是找测度.（二）形成性练习1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是.2．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？3．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.参考答案：1．0．00442．P（获得购物券）=12472020；P（获得100元购物券）=120；P（获得50购物券）=212010；P（获得20购物券）=412053．ara学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息.对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正.通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能.四、小结反思本节课的小结反思从以下几个方面进行：（1）几何概型的概念及基本特点；（2）几何概型中概率的计算公式；（3）背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力；进一步完成教学目标.五、布置作业（1）课本第103页习题3.3第1，2，3题；（2）请解释为什么随机事件A发生的概率0≤P（A）≤1，分别何时取到0，1？（3）上网下载课件，用Excel来模拟撒豆子试验；（4）上网搜索阅读“贝特朗（Bertrand）问题”，谈谈阅读之后的感想.这一组作业符合新课程的理念，作为本节课的的升华.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同的地方和不同的地方.根据几何概型中测度最常见的三种形式：长度、面积、体积，设置三个典型例题，课本上的前三个例题恰好符合以上要求，就直接拿过来用.例题本身属于几何概型及概率计算公式的直接应用、简单应用，目的是加强对几何概型的理解；帮助学生明确解题步骤，规范解题格式.因此，三个例题的讲解都设置了：分析、解答、点评三个步骤.其中分析过程主要强调判断是否符合几何概型，解答过程强调书写的规范性，点评主要强调如何将实际背景转化为测度以及测度是什么.此外，为了进一步突出本节课的重点与化解难点，同时也是为了与下一节课衔接，例1设置有拓展引申，例3设置有变式.例1的拓展引申在课堂师生推导出“4mn”，然后则由教师给出网址，“用Excel来模拟撒豆子试验”留给学生课后去探究.这样一来，既激发了学生学习数学的兴趣，调动了他们的积极性，又为下一节课中用随机模拟方法计算封闭曲线围成图形的面积作好了铺垫.绝大部分学生在单独处理例3时是不用费多大劲的，但是当面对例3变式时，大部分学生很有可能感觉无从下手，原因何在？在于学生找不到本题中的测度是什么——这恰好是本节课的难点，因此本题的教学对本节课的难点的突破至关重要.课堂上，教师不要急于讲解，可以让学生讨论，哪怕是争论，让学生参与进来，另外，本题的点评也留给学生完成.如此一来，不仅本节课的重点、难点得以突破，而且学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了.这样，这节课的教学目标就基本上都达到了.5例题处理后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测.三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性.小结与反思由师生共同完成，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力；进一步完成教学目标.