《函数的最大值和最小值》教学设计

《函数的最大值和最小值》教学设计★作者简介廖维猛1998年6月于湖南科技大学数学教育专业本科毕业，同年7月参加教育工作至今；2003年8月湖南师范大学教育管理硕士结业。1998年到2003年担任从初中一年级至高中三年级的数学教学，现一至从事高三数学教学。发表论文有：1999．11论文《架好新旧知识的桥梁》省二等奖；2000．8论文《浅谈十字交叉法的引入》国家一级论文；2001．7论文《含绝对值函数作图的几种策略》公开发表；2001．7著作《高中数理化公式定理定律手册》公开销售；2002．7论文《曲线（直线）恒过定点技巧解法》市三等奖；2003．10获雷锋学校青年教师素质比武综合一等奖承担课题有：参与市级课题《分层设问分组探究》已揭题；组织省级重点课题《高中数学应用问题实验设计与研究》进行中。★教学设计函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。二、求一些实际问题的最大值与最小值。【教具使用】CAI课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间[a，b]上的函数f(x)的图像。（如图1）我们知道，图中f(x1)与f(x2)是极小值，f(0)是极大值。在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x2)。二、新课探究1．函数最值的概念。定义：可导函数．．．．f(x)．．．．在闭区间．．．．[a．．，．b]．．上所有点处的函数值中的最大（或最．．．．．．．．．．．．．．．．小）值，叫做函数．．．．．．．．f(x)．．．．的最大（或最小）值．．．．．．．．．。一般地，在闭区间上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小会值。注：在开区间（a，b）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。例如f(x)=1/x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值。2．求可导函数f(x)在[a，b]上最大值、最小值的方法。结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。例1（教材P137例1）求函数42()25fxxx在区间[－2，2]上的最大值与最小值。解：'y=4x3-4x。令'y=0，有4x3-4x=0，解得：x=－1,0,1当x变化时，'y，y的变化情况如下表：x－2(－2,1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2'y－0+0－0+y1345413从上表可以看出，最大值是13，最小值是4。（如图2）。【解题回顾】设函数f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求．f(x)．．．．在（．．a．，．b．）内的极值；．．．．．．（2）将．f(x)．．．．的各极值与．．．．．f(．．a．)．，．f(．．b．)．比较，其中最大的．．．．．．．．一个是最大值，最小的一个是最小值．．．．．．．．．．．．．．．．。〖对应练习〗：（P138练习）求下列函数在所给区间上的最大值与最小值。（1）y=x－x3,x∈[0,2]；（2）y=x3+x2－x,x∈[－2,1]。参考答案：（1）y最大值=239，y最小值=－6；（2）y最大值=1，y最小值=－2。【解题回顾】在求导数在闭区间[a，b]上最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在（a，b）内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。例2（教材P138例2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x，则箱高h=60-x/2箱子容积V(x)=x2h=(60x2－x3)/2(0x,60)V’(x)=60x－3x2/2令V’(x)=0解得：x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3。【解题回顾】1．求最大（最小）值应用问题的一般方法：（1）分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，并建立函数关系式，这是关键一步；（2）确定函数的定义域，并求出极值点；（3）比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际问题，确定最大值或最小值点。2．在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。〖对应练习〗：（教材P139例3）本章引言中的问题。圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？（如图4）解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得h=2VR，则S(R)=2πR2VR+2πR2=2VR+2πR2令S’(R)=22VR+4πR=0解得，R=32V从而h=2VR=23()2VV=34V=23V即h=2R因为只有一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。三、反馈练习：1．函数3226187yxxx在[－3，4]上的最小值为（D）A、－64B、－51C、－56D、－612．函数24yxxx在上的最大值为（B）A、2+22B、4C、2D、53．函数()sincosfxxx在[,]22x时的最大、最小值分别是2,1。4．教材P139练习1、2。四、课堂小结：（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数为0的点，且在这一点有极值，则该极值就是函数在上的最值。；（3）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值，其关键是分清各量间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础一就可以确定出函数的最值情况。五、作业布置：P140习题3.91～5。六、教学流程↓↓↓↓↓设置情境引入课题新课探究概念教学方法归纳知识应用练习巩固课堂小结