_函数逼近问题的研究

函数逼近论题目学院专业班级学生姓名云南民族大学函数逼近论作业-I-摘要函数逼近问题是函数论的一个主要组成部分,它涉及的主要问题是函数的近似表示.在数学的理论研究中经常遇到以下问题:在选定的一些函数中寻找到某个函数g,使它是已知函数f在一定意义下的近似表示,并求出用g近似表示f产生的误差.这就是函数逼近问题.本课题采用理论和实例相结合的方法进行研究.首先,对Weierstrass魏尔斯特拉斯逼近定理及其推广进行介绍;其次,介绍了一致逼近定理与证明,给出一直逼近定理在函数逼近中的应用；最后,对Lagrange插值、Newton插值、Herimte插值等研究.关键词：函数逼近;一致逼近;插值云南民族大学函数逼近论作业-II-AbstractFunctionapproximationfunctiontheoryisakeycomponentoftheinvolved,itisthemainproblemoffunctionapproximationsaid.Inthestudyofthetheoryofthemathematicsalwaysmetinthefollowingproblem:someofthefunctionoftheselectedfortoacertainfunction,makeitisknowngƒfunctionincertainsignificanceoftheapproximate,andgettheusetoapproximatetheƒproduceerror.Thisisthefunctionapproximationproblem.Thissubjectadoptsthetheoryandpracticalmethodofcombiningtheresearch.Firstofall,toWeierstrassWeierstrasslasapproximationtheoremisintroducedanditsextension;Secondly,thispaperintroducesuniformapproximationtheoremaregiven,andproofhasbeenapproximationtheoremintheapplicationofthefunctionapproximation;Finally,theLagrangeinterpolation,Newtoninterpolation,Herimteinterpolation.Keywords:Thefunctionapproximation：Uniformapproximation；Interpolation云南民族大学函数逼近论作业目录摘要.............................................................................................................................................IAbstract.....................................................................................................................................II绪论............................................................................................................................................1第1章Weierstrass逼近定理.................................................................................................21.1Weierstrass第一定理....................................................................................................21.2Weierstrass第二定理....................................................................................................51.3Weierstrass定理的推广Stone定理...........................................................................7第2章一致逼近的研究......................................................................................................112.1Borel存在定理...........................................................................................................112.2最佳逼近定理.............................................................................................................122.3Kolmogorov最佳逼近定理........................................................................................15第3章多项式插值方法的研究............................................................................................173.1Lagrange差值公式.....................................................................................................173.2Newton插值公式........................................................................................................203.2.1差商的概念与性质...............................................................................................203.2.2Newton插值公式的导出.....................................................................................223.3Hermite插值公式.......................................................................................................24结论..........................................................................................................................................28参考文献..................................................................................................................................29致谢..........................................................................................................................................30云南民族大学函数逼近论作业-1-绪论Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近.将该定理进行推广:即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质,但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质.证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质1.随着对于数学研究的不断深入,正交多项式在数学问题中得到了广泛的应用,尤其在数值计算方面更显示出它的优越性.研究一直逼近的性质及应用问题,阐述一直逼近的定义、性质及最佳逼近定理的定义与证明.主要对最佳逼近定理的最佳逼近多项式的性质与特征进行分析研究23.在给定f并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为f的近似表示函数g的方法是多种多样的.例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法.所谓插值就是要在逼近函数类中找一个xg,使它在一些预先指定的点上和xf有相同的值,或者更一般地要求xg和xf在这些指定点上某阶导数都有相同的值4.利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史.微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式5.本文共分三章,在第一章中我们给出了并给出了Weierstrass逼近定理的证明与Weierstrass逼近定理的一个推广应用.在第二章中,我们主要介绍了最佳逼近定理的研究.给出了最佳逼近定理的介绍与证明.在第三章中我们主要介绍了Lagrange差值公式,Newton差值公式以及Hermite差值公式,在函数逼近中的应用.云南民族大学函数逼近论作业-2-第1章Weierstrass逼近定理1.1Weierstrass第一定理在实变函数的数学分析中,最重要的函数类实连续函数类,Cab与连续的周期函数类2C.,Cab是定义在某一闭区间,ab上的一切连续函数所成的集合;2C是定义在整个实轴(,)上的以2为周期的连续函数全体所成的整体.定理1.1（Weierstrass第一定理）设(),fxCab,那么对于任意给定的0,都存在这样的多项式()px,使max()()axbpxfx关于这个著名的定理,现在已经有很多种不同的证法,下面我们将介绍Bernstein的构造证法.Bernstein证法：不妨假设函数的定义区间是,0,1ab.事实上,通过下面的线性代换()tbaxa就能将x的区间01x变换成t的区间atb.同时,可以轻易得出多项式将变成t的多项式,x的连续函数将变成t的连续函数.因此只须就连续函数类,Cab来证明Weierstrass定理就行了.对于给定的()0,1fxC,作如下多项式(1,2,3,)n0()1nnkfknknkBxfxxkn（1-1）显然()fnBx是一个n次多项式.下面我们证明极限关系式云南民族大学函数逼近论作业-3-lim()()fnnBxfxx换而言之,Weierstrass定理中提及的()px,只要取()fnBx（其中xN）就可以了.为证明上述命题,只需要用到一个初等恒等式20()11nnkkknnxkxxnxxk（1-2）这个恒等式是很容易证明.事实上,由于01