_含参变量无穷积分一致收敛性的判断技巧与应用pdf

第21卷第8期牡丹江大学学报Vol.21No.82012年8月JournalofMudanjiangUniversityAug.2012文章编号：1008-8717（2012）08-0119-04含参变量无穷积分一致收敛性的判断技巧与应用刘红玉（陇南师范高等专科学校数学系,甘肃成县742500）摘要：在探讨各类《数学分析》教材中关于含参变量无穷积分的定义和判敛方法的基础上,通过几个常见问题的分析解答,归纳出含参变量无穷积分一致收敛性的判断的若干技巧,并讨论了含参变量无穷积分在学习和实践中的应用价值.关键词：含参变量反常积分；一致收敛性；类比；探索式教学中图分类号：G642文献标识码：A含参变量无穷积分是分析学中的重要内容，但在教学的过程中学生很难掌握.一致收敛是含参变量无穷积分的一个重要性质.有效地判别含参变量无穷积分的一致收敛对进一步研究含参变量无穷积分的性质起着重要的作用.本文对含参变量无穷积分的一致收敛性的判断方法做了总结并指出了学生在学习过程中应注意的问题，以便学生平时学习或考研时参考.反常积分包括无穷区间积分和无界函数反常积分两种形式.本文只讨论在区间a,上的无穷区间b无穷积分∫af(x,u)dx.对于∫−∞f(x,u)dx，以及无界函数的反常积分，可以类似地得到相应的结果.一、含参变量无穷积分一致收敛性的判断方法的归纳和总结1．利用定义判断若∫af(x,u)dx对u∈I逐点收敛，要证明∫af(x,u)dx在I上一致收敛，即要证明∫Af(x,u)dx在I上一致收敛于0（当A→时）即：∀ε0,∃A00,当AA0时有∫Af(x,u)dxε(∀u∈I)；要证∫af(x,u)dx对u∈I非一致收敛，即要证明：∃ε0,∀A0,∃AA及u∈I，使得f(x,u)dx≥ε.00101∫A1012．利用Cauchy准则判断′′′∫af(x,u)dx在I上一致收敛的充要条件是∀ε0,∃A0A0时，有a,当AA∫AA12f(x,u)dxε判断一致收敛的M判别法，Abel与Dirichlet判别法也是根据Cauchy准则证明出来的.3．Weierstass判别法（M判别法）设∫af(x,u)dx在u∈I上收敛，如果（1）f(x,u)≤F(x)(∀x≥a,∀u∈I)，（2）∫aF(x)dx收敛，则∫af(x,u)dx关于u∈I一致收敛.收稿日期：2012-05-20作者简介：刘红玉（1980—），女，甘肃清水人，讲师，研究方向：数学分析和概率统计的教学和研究。119使用M判别法，关键在于将被积函数的绝对值f(x,u)适当地放大，以找出函数F(x)（优函数），使得f(x,u)≤F(x)(∀x≥a,∀u∈I)且∫aF(x)dx收敛.则∫af(x,u)dx关于u在I上一致收敛.在判别函数项级数(函数列)一致收敛时，需要对某些表达式进行适当放大，从而达到判别函数项级数(函数列)一致收敛，这种方法叫放大法.值得注意的是上面说的是判别含参变量无穷积分的一致收敛常用的三个判别法则.从这三个法则我们可以看出无论是用哪一个定理，要实现对含参变量无穷积分一致收敛的判别，均要对一定的表达式进行有效的放大.放大法的技巧有以下几种：a.利用已知不等式进行放大如利用柯西不等式:(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx进行放大b.通过求最大值进行放大c.利用Taylor公式等进行变形后放大d.利用递推的方法进行放大e.确界法f.利用Abel变换进行放大利用Cauchy收敛准则证明含参变量无穷积分的一致收敛性时一个重要的问题是将“片断”∫AA12f(x,u)dx进行变形，这种变形的一个重要方法是利用Abel变换.M判别法，使用比较方便，但适用面较窄。特别若所讨论积分本身一致收敛，同时又是条件收敛时，显然，M判别法，对于这种情况是无能为力的.只好用下面的判别法.证明：含参变量积分∫0∞cosx2ydx在−∞y∞上一致收敛.例11x2cosx2y11证明对−∞y，有≤无穷积分∫0dx收敛，故含参变量积分x211x21x22∫0∞cosxydx在−∞y上一致收敛.21xcosx2y11但我们也可以这样做≤，但无穷积分∫0dx收敛吗？不收敛.x21x2x2cosxy例2证明：含参变量积分∫1dx在−∞y∞上一致收敛.x2y2cosxy11证明对−∞y，有≤无穷积分∫1dx收敛，故含参变量积分x2y2x2x2∫cosxydx在−∞y上一致收敛.1x2y2M判别法得的结论是绝对一致收敛，但并不是所有绝对收敛的积分都能用M判别法来判断.112积分∫1∞e−(x−)dx在0α1上虽然绝对一致收敛，但并不能用M判别法进行判断[1].例3α2α分析我们首先来证明该积分一致收敛；其次因被积函数为正，故也是绝对一致收敛；最后只须证明它没有优函数F(x).1121事实上，假若e−(x−)≤F(x)(∀x≥1,∀α∈(0,1))，那么对任意x1，只要α∈0,1，便知α2αx1121e−(x−)≤F(x)(∀x1)故∫1F(x)dx发散，所以没有优函数.α2α下面证明该积分一致收敛.1(x−1)2问题在于：∀ε0,找A01，使得AA0时有∫A∞e−dxεα2α120由于∫A∞e−1(x−1)2dx∫A∞e−1(x−1)2dxα∫1(∞A−1e−u2du（令u1(x−1)）（1）α2αα2α)αααα但α∫1(A−1)e−u2du≤α∫−∞e−u2duαπ.ααε1，积分（1）ε01（充分大），使因此对于α∈0,π，对任意A成立，剩下的问题只在于找A得AA时，对于α0,ε，αe−u2duε。由于被积函数e−u20,当ε≤α1时，有∈110π∫(A−)πααα∫1(A−1)e−u2du≤∫A−πe−u2du（2）2αε由∫0e−u2du的敛散性知：∀ε0,∃A00，使得AA0时积分（2）ε.4．Abel判别法与Dirichlet判别法该法的关键在于把被积函数恰当地拆成二因子相乘：f(x,u)g(x,u)h(x,u)使得g(x,u),h(x,u)满足Abel条件：1）∫ag(x,u)dx对u∈I一致收敛；2）h(x,u)当u固定时，对x单调，且一致有界，即∃M0，使得h(x,u)≤M，则积分∫af(x,u)dx在I上一致收敛（Abel判别法）或者（将条件1）减弱，将条件2）加强）使得g(x,u),h(x,u)满足Dirichlet条件1）∫aAg(x,u)dx一致有界。即：∃M0,∫aAg(x,u)dx≤M2）h(x,u)当u固定时，对x单调，当x→∞时，h(x,u)一致收敛0，则积分∫af(x,u)dx在I上一致收敛（Dirichlet判别法）例4证明含参量积分∫0∞1xudx在0,上一致收敛.证法1（用Abel判别法）首先对任意固定的y≥0，原积分是∫0∞sinx2dx收敛的.又因为u1x∫0sinx2dx=∫0sintdt收敛，与u无关，故u∈0,时是一致收敛的.其次对任意固定的u≥0，11xu2t是x单调函数，且1≤1.由Abel判别法知∫0∞sinx2dx在0,上一致收敛.1uux1x证法2（Dirichlet判别法）将含参量积分∫∞sinx2dx改写为∫01xu01∫0Axsinx2dx−cosx20A≤1，∀u∈0,.对任意固定的u≥0，21≤1→0(x→)故当x→∞时，1关于u一致收敛x(1xu)xx(1xu)2于0.由Dirichlet判别法知∫∞sinxdx在0,上一致收敛.01xuxsinx21dx.由于x(1xu)1是x单调函数且x(1xu)5．Dini定理121设f(x,u)在D{a≤x≤∞,α≤u≤β}上连续且不变号，ϕ(u)∫af(x,u)dx在α,β上连续，则∫af(x,u)dx关于u在I上一致收敛.数学分析[2]中己经指出级数与无穷积分的敛散性及其性质基本上是平行的，其定理在一般教科书中都能找到；同样函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛判别法及其性质基本上是平行的，有下面的定理。6．设f(x,u)必为区域R{a≤x≤b,1≤u∞}上的非负函数，如果f(x,u)在区间1,上关于u为单调减函数，那么含参变量积分∫f(x,u)du与函数项级数∑f(x,n)在区间a,b上具有相同的一致收敛1n1性[3].7．若f(x,u)在a,U上连续，u0为U的一个聚点，∫af(x,u)dx在U\{u0}上收敛，而∫af(x,u0)dx发散，则∫af(x,u)dx在U上不一致收敛.可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质和一致收敛，也可以利用积分的便利条件判断某些函数项级数的一致收敛.二、拓展应用含参量无穷积分∫0ue−uxdx在闭区间0,b上不一致收敛，而∫0ue−ux2dx在闭区间0,b上一致收敛[4].这两个含参量无穷积分在形式上相差无几,但一致收敛性却截然不同.下面我们类比的方法讨论二者一致收敛性质的差异.含参量无穷积分∫ue−uxdx当u∈0,3时考虑变上限积分∫Mue−uxdx可以做出曲线：其中每一条曲线标显00M的u值为含参量无穷积分∫0ue−uxdx中对应的参量u的值,横坐标表示的是变上限积分∫0ue−uxdx中M的取值,纵坐标表示积分∫0Mue−uxdx的值.可以得出：对于任意的u∈0,3,积分∫0ue−uxdx收敛;但是对于不同的u∈0,3,积分∫0ue−uxdx的收敛步调却不一致.含参量无穷积分∫0ue−ux2dx当u∈0,3时考虑变上限积分∫0Mue−uxdx可以做出曲线：其中每一条曲线标显的u值为含参量无穷积分∫0ue−ux2dx中对应的参量u的值,横坐标表示的是变上限积分∫0mue−ux2dx中M的取值,纵坐标表示积分∫0mue−ux2dx的值.可以得出：对于任意的u∈0,3,积分∫0ue−ux2dx收敛;对于不同的u∈0,3,积分∫0ue−ux2dx收敛情况保持步调一致.从上面两个例子的对比可以看出含参量无穷积分的一致收敛性的直观表现是反常积分关于参变量的同步收敛.含参量积分的致收敛性的判别与函数项级数有许多类似的地方，同时也要注意到利用积分自身的特点，如变量∞cosx22cost代换，分部积分等.如∫1dx，作变换xt，就化为∫1dt，成为我们熟悉的类型.xpt(p1)/2参考文献：[1]裴礼文.数学分析中典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:649.[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003:284.[3]孙德荣.函数项级数一致收敛的积分判别法[J].昌吉学院学报,2009,(06).[4]黄慧,陈辉.含参量无穷限反常积分的一致收敛性[J].高等数学研究,2011,(01).122