[理学]线性代数技巧行列式的计算方法

1计算n阶行列式的若干方法举例n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1．利用行列式定义直接计算例1计算行列式001002001000000nDnn解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于(1)(2)2nn，故(1)(2)2(1)!.nnnDn2．利用行列式的性质计算2例2一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa由行列式的性质AA1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.33．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3计算n阶行列式abbbbabbDbbabbbba解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11[(1)]11bbbabbanbbabbba1000[(1)]000000bbbabanbabab1[(1)]()nanbab44．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4计算n阶行列式00010000000000001000naaaDaa解将Dn按第1行展开1000000000000(1)0000000001000nnaaaaDaaaa12(1)(1)nnnnaa2nnaa.5．递推公式法5递推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为递推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5证明1221100001000001nnnnxxDxaaaaax12121,(2)nnnnnxaxaxaxan证明：将Dn按第1列展开得12321100001000001nnnnxxDxxaaaaax11000100(1)001nnxax1nnaxD6由此得递推公式：1nnnDaxD，利用此递推公式可得112()nnnnnnDaxDaxaxD212nnnaaxxD111nnnnaaxaxx6．利用范德蒙行列式例6计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx例2计算1n阶行列式7122111111111122122222222122111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabababbaabababbDaabababb．其中1210naaa．解这个行列式的每一行元素的形状都是nkkiiab，k0，1，2，…，n．即ia按降幂排列，ib按升幂排列，且次数之和都是n，又因0ia，若在第i行（i1，2，…，n）提出公因子nia，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即211111122221212222111111111111111.nnnnnnnnnnnnnnjniiijinijijijjinbbbaaabbbDaaaaaabbbaaabbaaabaab≤≤≤≤87．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7计算n阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa解：1100nnnaaDD1211002,,1100100niaaaxinxx第行减第1行（箭形行列式）1211000000000njnjaaaaxxxx11njnjaxx9例3计算n（n≥2）阶行列式1231111111111111111nnaaDaa，其中120naaa．解先将nD添上一行一列，变成下面的1n阶行列式：1121111011101110111nnaDaa．显然，1nnDD．将1nD的第一行乘以1后加到其余各行，得11211111000110100nnaDaa．因0ia，将上面这个行列式第一列加第i（2i，…，1n）列的11ia倍，得：10111221211211111111111000001000001000000000110011niinnniinnniiaaaaaaaaaaaaaaa，故12111nnniiDaaaa8．数学归纳法例8计算n阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax解：用数学归纳法.当n=2时212211()xDxxaaaxa212xaxa假设n=k时，有12121kkkkkkDxaxaxaxa11则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得11kkkDxDa1111()kkkkkxxaxaxaa12111kkkkkxaxaxaxa由此，对任意的正整数n，有12121nnnnnnDxaxaxaxa9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9计算行列式nD11212212nnnnaaaaaaaaa解：nD1212212nnnnaaaaaaaaa1222000nnnnaaaaa122000nnnaaaa11nD1211nnaD……1211niniia12例4计算n（n≥2）阶行列式111212122212121212nnnnnnnxyxynxyxyxynxyDxyxynxy．解将nD按第一列拆成两个行列式的和，即1211112122221222212122122122nnnnnnnnnnnnxynxyxyxynxyxynxyxyxynxyDxynxyxyxynxy．再将上式等号右端的第一个行列式第i列（2i，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子1y，则可得到12111212222222122111222211212121212.12nnnnnnnnnnnnnnnnxyxyxxynxyxyxyxxynxyDyxyxyxxynxyxxxnxxxnyyyxxxn当n≥3时，0nD．当2n时，221212Dxxyy．上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。1314第1讲计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法．其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式．这一讲，我们将介绍一些常用的方法．1．化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如0*AB，*0AB的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值．为了叙述简便，仍用记号ijij表示互换行列式的第i行（列）与第j行（列）；用ikjikj表示将行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用cici表示将第i行（列）乘以非零的数c．例1计算行列式1123133795204213571464410102D．解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．152313214315412342112310010202041021530022211231020410010202153002221-12-310204-100-10-2001-120022-2D43523524112310304100102000100002611231020410010200010000061211612.例5计算n阶行列式1231231231231111nnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．1612231223122312232323231231112,,2,,11111111111111111nnnnnnnnnnnininniiiiininaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2311010000100001111.nnniiiiaaaaa例6计算1n阶行列式122111111111122122222222122111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabababbaabababbDaabababb．其中1210naaa．解这个行列式的每一行元素的形状都是nkkiiab，k0，1，2，…，n．即ia按降幂排列，ib按升幂排列，且次数之和都是n，又因0ia，若在第i行（i1，2，…，n）提出公因子nia，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即17211111122221212222111111111111111.nnnnnnnnnnnnnnjniiijinijijijjinbbbaaabbbDaaaaaabbbaaabbaaabaab