§11向量与矩阵的定义及运算

第一章向量与矩阵的基本运算2§1.1向量与矩阵的定义及运算),,,(21naaa定义1既有大小,又有方向的量称为向量(vector),又称矢量.n维向量可以用n个数构成的有序数组来表示.记作称为n维行向量；若记作312naaa并称数ai为的第i个分量(i=1,2,...,n).n维行向量和n维列向量都可称为n维向量,n维向量常用小写黑体希腊字母表示.例：,,,10(1,3,8);.23＝则称为n维列向量.4定义2设两个n维向量),,,(),,,,(2121nnbbbaaa(1)如果他们对应的分量分别相等，即,1,2,,iiabin则称向量与相等，记作.(2)加法(addition):称向量(a1+b1,...,an+bn)为与的和，记作51122(,,,).nnababab+OAB(3)数量乘法(scalarmultiplication):设k为数，称向量(ka1,ka2，...,kan)为k与的数乘，记作12(,,,).nkakakak伸缩变换6(4)分量全为零的向量(0,...,0)称为零向量，记作0.(5)称(－a1,－a2,...,－an)为的负向量，记作.向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算.对任意的n维向量及任意的数k,l,向量的线性运算满足以下八条运算规律：,,7(1);(2)()();(3)0;(4)()0;(加法交换律)(加法结合律)(5)1;(6)()();(7)();(8)();klklkkkklkl(数乘结合律)(第一分配律)(第二分配律)8().＝注意:在上面的八条运算规律中只利用了向量的加法和数乘.但是,利用负向量的概念,依然可以定义向量的减法运算:直观地说就是对应的分量相减,1122(,,,).nnababab＝(9)00(1)00;(10)00,0.kkk＝，＝-，或＝显然，向量还满足以下的性质：9123123(1,1,2),(1,2,0),(1,0,3),212,.求(1,1,2)2(1,2,0)12(1,0,3)例1解:(1,1,2)(2,4,0)(12,0,36)(1212,140,2036)(11,5,34).10题中的可以表示为的形式,称可由向量线性表出,或称是的一个线性组合.112233kkk123,,123,,31.iiik=为了简化记号,可以用连加号表示向量之和.因此题中的向量运算可表示为1112(,,,)nkkk12nnnRL，称，，为维基本向量空间的向量组.是向量组的一个线性组合.12(1,0,,0),(0,1,0,,0),,(0,,0,1)n例2证明:任意n维向量证明：由向量的线性运算，得1212(,,,)(,0,,0)(0,,0,,0)(0,,0,)nnkkkkkk121.niiik＝12nnnRL，称，，为维基本向量空间的向量组.12(1,0,,0)(0,1,0,,0)(0,,0,1)nkkk也即是例2(续)13二、矩阵定义3设P是复数集C的一个子集,含有0和1(零元和单位元).如果P中的任意两个数的和、差、积、商仍然在P中(即关于四则运算封闭),则称P为数域(numberfield).任意数域中含有1,故含有Z,从而含有Q.因此Q是最小的数域.例:有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,分别称为有理数域,实数域,复数域.而整数集Z不是数域.我们主要用到的是实数域和复数域.14引例1某商场9月份电视机销售统计表21寸29寸34寸48寸长虹康佳创维15403772130401072518101540377213040107251810与数表对应15引例2线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3111213121222323132333aaabaaabaaab与数表对应上述问题必须引进一些新的概念,如矩阵.矩阵是一个非常重要的概念,不仅应用于线性代数,而且深入数学,物理,计算机等学科领域中.16定义4数域P中sn个数排成的s行n列的长方形数表111212122212nnsssnaaaaaaaaaLLMMMML称为数域P上的sn矩阵(matrix)，aij称为矩阵A的第i行第j列元素(entry).17元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.sn矩阵A记为Asn或A=(aij)sn,在不引起混淆时简记为A=(aij).ija行下标列下标18一些特殊的矩阵：1.n阶矩阵(squarematrix):行数与列数相同,且都是为n的矩阵Ann称为n阶矩阵或n阶方阵.即111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaLLMMMMLa11,a22,...,ann为A的主对角线上的元素.192.零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为0.注意：不同阶的零矩阵不同.3.行矩阵、列矩阵:称为行矩阵A1×n(rowmatrix);只有一行的矩阵11121(,,,)nAaaa只有一列的矩阵称为列矩阵An×1(columnmatrix).11211naaAa204.对角矩阵：除主对角线上元素外，其它元素都为零的n阶方阵.(i.e.aij=0,i≠j)称为对角矩阵(diagonalmatrix).记为12n12,,,,ndiag215.单位矩阵：若对角线元素为1，其它元素为零的矩阵，称为n阶单位矩阵(identitymatrix),记为En(或In),简记为E.即111E226.数量矩阵：若对角线元素为k(k为常数),其余元素都为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵(scalarmatrix)，记为kE.即kkkEk23矩阵的线性运算定义5设A=(aij)sn和B=(bij)sn是(数域P上)两个sn(同型)矩阵，则(1)如果它们对应的元素分别相等，即aij=bij,(i=1,2,…,s;j=1,2,…,n),则称A与B相等，记作A=B.24111112121121212222221122()nnnnijijsnsssssnsnababababababababababLLMMMML(2)加法：称矩阵为A与B的和，记作A+B.25111212122212()nnijsnsssnkakakakakakakakakakaLLMMMML(3)数量乘法：设k为数域P中的数，称矩阵为数k与A的数乘，记作kA.26111212122212()nnijsnsssnaaaaaaaaaaLLMMMML(4)负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为－A.即27矩阵的线性运算性质(5)1;AA(1);ABBA(4)()0;AA(3)0AA；;(2)()()ABCABC28(6)()();klAklA(7)();kABkAkB(8)();klAkAlA(9)00,(1),00;AAAk(10)00,0.kAkA若，则或者29236324,,135135AB解：由等式可得523CBA232224323336212(3)253(1)33350510,5155012.131C例设矩阵A、B、C满足等式3(A+C)=2(B－C)，其中求C.3012010,000E111112121313212122222323()()AaEaEaEaEaEaE例5设A=(aij)2×3,Eij表示第i行第j列元素为1，其余元素为0的2×3矩阵(i=1,2;j=1,2,3),如则A可表示为：33112211jjjjjjaEaE312311;ijijijaE111121211212222213132323()()()AaEaEaEaEaEaE当两个求和指标独立取值时,连加号的顺序可以交换.222112233111iiiiiiiiiaEaEaE或3211.ijijjiaE32引例设甲、乙、丙三位同学的高数平时、期中、期末成绩为矩阵A,平时、期中、期末成绩所占比例为矩阵B,这三位同学的高数总成绩用矩阵C表示.807075907080,608090A0.30.3.0.4B三、矩阵的乘法33引例(续)807075907080,608090A0.30.3,0.4B解:甲同学的高数总成绩为800.3700.3750.475乙同学的高数总成绩为900.3700.3800.480丙同学的高数总成绩为600.3800.3900.47834引例(续)7580.78C还可以利用矩阵的某种运算得到上述总成绩.351122ijijijinnjcabababL设A=(aij)s×n是一个s×n矩阵，B=(bij)n×m是一个n×m矩阵,A的列数等于B的行数.用cij表示A的第i行与B的第j列的对应分量乘积之和，定义61(1,2,,;1,2,,).nikkjkabisjmLL即：36称矩阵C=(cij)s×m为矩阵A与B的乘积，记为C=AB.注意：由矩阵乘法的定义11221212()ijijijinnjjjiiinnjcabababbbaaabLLM=A的第i行乘B的第j列故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.37注意：(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如不存在.(2)乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数，乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.3810121130,0514A034121,311121B例设矩阵A,B乘积的行数、列数间的关系是(s,n)×(n,m)=(s,m)用图示表示就是=snnmsm计算AB.39故121113121430415003112101ABC.解,)(43ijaA,34)(ijbB.)(33ijcC567102621710401212,(),nnaaABbbbaLM11221,nnniiiBAbabababaL例7设计算AB，BA.解：根据乘法的定义,AB与BA都有意义.AB为n×n矩阵,BA为1×1矩阵(等同于数).41111212122212.nnnnnnababababababABabababLLMMMML例8设1122,,112210,10ABC42004400,,.004400ABBAAC