《工程数学》2009B参参考答案

1《工程数学》试卷(B)附参考答案（2009.11考试时间100分钟）班级序号姓名题号一二总总分1234567分数一、选择题（每题3分，共30分）1.复数i2582516z的辐角为（B）A.21arctanB．21arctanC．21arctanD．21arctan2．设)1ln(iw,则wIm等于（C）A．4－B．4C．1,0,k,42kD．1,0,k,42k3、设C是从0到i的任意弧段，则Czdzze2（D）A.0B.21eC.21eD.ee214．幂级数1n1-nn!z的收敛区域为（A）A．|z|B．|z|0C．-1|z|0D．1|z|5．z=-1是函数41)(zzcot的（C）A.3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点26、矢量场kzjyixA穿出x2+y2+z2=22的通量为（B）A.16B.32C.16D.327、矢量场222zyxu在点)1,0,1(M处,沿方向kjil22的方向导数为(B)A.2B.22C.2D.228、矢量场kyzjyzxixzA42322在点（1，-2，1）处沿矢量kjin326方向的环量面密度为（C）A.518B.318C.718D.11189．若对0t，有)()(tfTtf，则)]([tfL(D).A.TTstsTsTdtetfee2)(1B.TTstsTsTdtetfee2)(1C.TTstsTsTdtetfee2)(1D.TTstsTsTdtetfee2)(110.已知)()]([sFtfL，则)]([2tfeLt(B).A.)0()2(fssFB.)0()2()2(fsFsC.)0()()2(fsFsD.)0()2()2(fsFs二、计算与证明题（本大题共7小题，共70分）1.(10分)3||3d.(1)zzezzz计算积分12120,1,0,,,CCCCC解：分别以为圆心以为半径作圆使和也在内12,,CC且与互不相交互不包含则31133(1)dd(1)zzCCeezzzzzz302(1)zzeiz2.i………………3分2233dd(1)(1)zzCCeezzzzzz2(1)2!if.ei…………………3分据复合闭路定理有：3d(1)zCezzz1233dd(1)(1)zzCCeezzzzzz(2).ei…………4分2．(10分)利用留数求积分024910cosdxxxxI的值。解：在上半平面内，f(z)有一阶极点iziz3,-)dx)(x(xxI91cos2122　-ixdx))(x(xe91Re2122……………………………………………3分if(z),si2f(z),isi23ReReRe21，………………………………2分eif(z),is161Re，i48e1-f(z),3iRes3，…………………4分1)-(3e48eI23　。…………………………………………………1分3．(10分)计算tetftcos)(的傅氏变换，并证明tetdtcos2cos42022。解：dtteeFtitcos)(dteeeetiititt2………………………………………………2分40)]1(1[0)]1(1[2121dtedtetiti0)]1(1[0)]1(1[2121dtedtetiti4)2(222………………………………………………………………4分注意到)(tf是偶函数，所以detetjt4221cos22tdcos421022,…………………………………………………2分故tetdtcos2cos42022。…………………………………2分4,(10分)利用拉氏变换求下面的微分方程组：22()2()2()102()()()7ttxtxtytextytyte.满足条件(0)1(0)3xy的解。解：设[()](),[()]()xtXsytYsLL，方程两边取拉氏变换，得10()12()2()272()()3()2sXsXsYssXssYsYss……………………………………3分即58(2)()2()2312()(1)()2ssXsYsssXssYss……………………………………………2分所以1()23()2XssYss………………………2分求逆变换得22()()3ttxteyte…………………………………………3分5、求矢量场kyxjyixA)(22在点)1,2,1(M的矢量线方程.解：矢量线所满足的微分方程为22yxdzydyxdx……………………………………………2分由ydyxdx,得ycx1…………………………………………2分又2222yxdzyydyxxdx,得22222221yxdzyxydx有2222czyx………………………………………3分于是所求矢量线方程为22212czyxycx……………………………………………2分代入)1,2,1(M，得6322122zyxyx……………………………………………1分6(10分)设,||,rxiyjzkrr求(1)使div[()]0frr的();fr(2)使div[grad()]0fr的().fr解：（1）div[()]()divgrad()frrfrrfrr3()()frrfr…………………………………3分令其为0，得微分方程3()()0frfrr解之得3()Cfrr…………………………………………………2分（2）div[grad()]div[()]rfrfrr()2()frfrr…………………………3分令其为0，得微分方程2()()0frfrr解之得12()CfrCr…………………………………………2分7.(10分)证明矢量场22222cos2Axyzixzyjxyzk是有势场，并求其势函数v.解：由A的雅可比矩阵2222222242sin2422yzxzxyzDAxzyxzxyzxzxy……………………………………3分得72222rot(22)(44)(22)0Axzxzixyzxyzjxzxzk……2分故A为有势场,那么存在函数u使得grad,Au取000(,,)(0,0,0),xyz20000cos2xyzudxydyxyzdz22sinyxyz………………3分于是得势函数22sinvuyxyz势函数的全体为22sinvyxyzC……………………………………………2分