《常微分方程》答案习题

习题3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422dxdyxdxdyxy解：令pdxdy，则422pxxpy，两边对x求导，得dxdppxxpdxdpxpp324422202213pdxdpxxp从0213xp得0p时，2343,21pypx；从02pdxdpx得222,cpcypcx，0p为参数，0c为任意常数.经检验得331234xpyp，是方程奇解.2、2dxdyyx解：令pdxdy，则2pxy，两边对x求导，得dxdppp21ppdxdp21，解之得cppx21ln2，所以cpppy221ln2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、21dxdydxdyxy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21ccxy，从01122ccxccxy中消去c,得到奇解21xy.4、02ydxdyxdxdy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为2ccxy，从022cxccxy中消去c,得到奇解240yx.5、022ydxdyxdxdy解：令pdxdy，则22pxpy，两边对x求导，得dxdppdxdpxpp22222xpdpdx，解之得232cppx，所以1231cppy，可知此方程没有奇解.6、0123dxdyydxdyx解：原方程可化为21dxdydxdyxy，这是克莱罗方程，因此其通解为21ccxy，从02132cxccxy中消去c，得奇解042732yx.7、21dxdydxdyxy解：令pdxdy，则21ppxy，两边对x求导，得22pcexp，所以212pepcyp，可知此方程没有奇解.8、022axdxdyx解：xaxdxdy22xaxdxdydxxaxdy2123232axxy22349axxcy可知此方程没有奇解.9、3312dxdydxdyxy解：令pdxdy，则3312ppxy，两边对x求导，得dxdppdxdpp22212ppdxdp解之得cppx2ln3222，所以cppppy2ln6433123，且322xy也是方程的解，但不是方程的奇解.10、012ydxdyxdxdy解：2dxdydxdydxdyxy这是克莱罗方程，因此方程的通解为2cccxy，从cxcccxy212中消去c,得方程的奇解0412yx.（二）求下列曲线族的包络.1、2ccxy解:对c求导，得x+2c=0,2xc,代入原方程得，442222xxxy，经检验得，42xy是原方程的包络.2、0122cxyc解：对c求导，得yxcxyc2,0222，代入原方程得0124424yxyyx，即044yx，经检验得044yx是原方程的包络.3、422cycx解：对c求导，得–2(x-c)-2(y-c)=0,2yxc,代入原方程得82yx.经检验,得82yx是原方程的包络.4、cycx422解：对c求导，得-2(x-c)=4,c=x+2,代入原方程得2442xy，142xy,经检验，得142xy是原方程的包络.(三)求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为xXxyxyY，它与X轴、Y轴的截距分别为yyxX，yxyY，按条件有ayxyyyx，化简得yyayxy1，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线caccxy1，它的包络是21101caccaxcaccxy，消去c后得我们所求的曲线24ayxax.(四)试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从cfxcfcxy0中消去p后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程cfxcfcxy0中消去c而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.