《常微分方程》答案习题1.2

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：ydy=2xdx两边积分有：ln|y|=x2+cy=e2x+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=e2x.2.y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y2dx=-(x+1)dy2ydydy=-11xdx两边积分:-y1=-ln|x+1|+ln|c|y=|)1(|ln1xc另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=|)1(|ln1xc3．dxdy=yxxyy321解：原方程为：dxdy=yy2131xxyy21dy=31xxdx两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：yy1dy=-xx1dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy=-yxyx令xy=u则dxdy=u+xdxdu代入有：-112uudu=x1dxln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctg2xy.6.xdxdy-y+22yx=0解：原方程为：dxdy=xy+xx||-2)(1xy则令xy=udxdy=u+xdxdu211udu=sgnxx1dxarcsinxy=sgnxln|x|+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgydy=ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=xccos1=xccos另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8dxdy+yexy32=0解：原方程为：dxdy=yey2ex32ex3-3e2y=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dxdy=xylnxy令xy=u,则dxdy=u+xdxduu+xdxdu=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+lnxy=cy.10.dxdy=eyx解：原方程为：dxdy=exeyey=cex11dxdy=(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy=dxdu-1dxdu-1=u2211udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dxdy=2)(1yx解：令x+y=u,则dxdy=dxdu-1dxdu-1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.dxdy=1212yxyx解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=c14:dxdy=25yxyx解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y2+2y)-d(21x2+5x)=0y2+4y+x2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1)2+(4y+1)2+8xy1解：原方程为：dxdy=（x+4y）2+3令x+4y=u则dxdy=41dxdu-4141dxdu-41=u2+3dxdu=4u2+13u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程yxdxdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x2y2)dx=xdy2）yxdxdy=2222x-2yx2y证明：令xy=u,则xdxdy+y=dxdu则dxdy=x1dxdu-2xu，有：uxdxdu=f(u)+1)1)((1ufudu=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。1）令xy=u则dxdy=x1dxdu-2xu(1)原方程可化为：dxdy=xy[1+（xy）2](2)将1代入2式有：x1dxdu-2xu=xu(1+u2)u=22u+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：x=x0-'0yyy=y0-x0y’则x=2x0=x0-'0yy所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=4。解：由题意得：y’=xyy1dy=x1dxln|y|=ln|xc|y=cx.=4则y=tgx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx2+c即为所求。