《常微分方程》答案习题41

习题4.11.设tx和ty是区间bta上的连续函数，证明：如果在区间bta上有tytx常数或txty常数，则tx和ty在区间bta上线形无关。证明：假设在tx，ty在区间bta上线形相关则存在不全为零的常数，，使得0tytx那么不妨设tx不为零，则有txty显然为常数，与题矛盾，即假设不成立tx，ty在区间bta上线形无关2.证明非齐线形方程的叠加原理：设tx1，tx2分别是非齐线形方程xtadtxdtadtxdnnnnn111tf1（1）xtadtxdtadtxdnnnnn111tf2（2）的解，则tx1+tx2是方程xtadtxdtadtxdnnnnn111tf1+tf2的解。证明：由题可知tx1，tx2分别是方程（1），（2）的解则：tftxtadttxdtadttxdnnnnn1111111（3）tftxtadttxdtadttxdnnnnn2212112（4）那么由（3）+（4）得：txtxtadttxtxdtadttxtxdnnnnn211211121tf1+tf2即tx1+tx2是方程是xtadtxdtadtxdnnnnn111tf1+tf2的解。3.试验证xdtxd220的基本解组为ttee,，并求方程xdtxd22tcos的通解。证明：由题将te代入方程xdtxd220得：te-te=0,即te是该方程的解，同理求得te也是该方程的解又显然ttee,线形无关，故ttee,是xdtxd220的基本解组。由题可设所求通解为：txttetcetc21，则有：解之得：2211sincos41;sincos41cttetccttetctt故所求通解为：tecectxttcos21214.试验证xtdtdxttdtxd111220有基本解组t，te，并求方程xtdtdxttdtxd11122t-1的通解。解：由题将t代入方程xtdtdxttdtxd111220得：01111122ttttttdtdtttdttd，即t为该方程的解同理te也是该方程的解，又显然t，te线形无关，故t，te是方程xtdtdxttdtxd111220的基本解组由题可设所求通解为tetcttctx21，则有：tetcetcetcetcttttcos02121102121tetctcetcttctt解之得：2211,cetetccttctt故所求通解为2211tectctxt5.以知方程xdtxd220的基本解组为ttee,，求此方程适合初始条件10,0000,10xxxx及的基本解组（称为标准基本解组，即有10w）并求出方程的适合初始条件000,0xxxx的解。解：ttee,时间方程xdtxd220的基本解组，故存在常数21,cc使得：ttecectx21于是：ttecectx21令t=0,则有方程适合初始条件00,10xx，于是有：0102010201ecececec解得：1c21,212c故tteetx2121又该方程适合初始条件10,00xx，于是：1002010201ecececec解得：21,2121cc故tteetx2121显然tx1，tx2线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：tteetx2121，tteetx2121而此方程同时满足初始条件000,0xxxx，于是：0020100201xececxecec解得：2,2002001xxcxxc故ttexxexxtx220000满足要求的解。6.设txini,,2,1是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为tw，试证明tw满足一阶线形方程01wtaw，因而有：ttdssaetwtw010bat,解：nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtw12211111111111又txini,,2,1满足0111inninninxtadtxdtadtxd即xtadtxdtadtxdnninnin111121nktaktwk，，，为，加到最后一行行都乘以中第则：twtataxxxxxxxxtwnnnnnnnn1111122111即01wtaw则有：dttatwtw1ttdssatwntwdssatttwtt010100ln,ln则积分：到两边从即：ttdssaetwtw010bat,7.假设01tx是二阶齐线形方程021xtaxtax（*）的解，这里tata21和在区间ba,上连续，试证：（1）tx2是方程的解的充要条件为：0,,21121xxwaxxw；（2）方程的通解可以表示为：2121110exp1cdtdssaxcxxtt,其中21,cc为常数,batt,,0证：（１）0,,21121xxwaxxw的解。为即(*)0,00002121212212121211211211211212112112121xxxaxaxxaxaxxxxaxxaxxaxxaxxxxaxxaxxxx（２）因为21,xx为方程的解，则由刘维尔公式ttttdssadssaetwxxxxetwxxxx01010212102121:,即两边都乘以211x则有：ttdssaextwdtxxd0121012，于是：122112221112010111xcdtexcxcdtexcxxttttdssadssa即：0,1,0,101012121211221ttttdssadssaexxxxtwdtexxxcc又：得：取从而方程的通解可表示为：2121110exp1cdtdssaxcxxtt,其中21,cc为常数,batt,,0。8.试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。证：设txtxtxn,,,21为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，tx是（4.1）的一个解，则：,,,,,21txtxtxtxtxtxtxn（1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。事实上：假设存在常数121,,,nccc，使得：txcctxccctxtxctxctxtxctxtxctxtxciiniiniiniiniiniiininnn111111111112211000:0，则有：否则，若我们说：即（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有01txciini又txtxtxn,,,21为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有：0:,0121nncccc进而有即（1）是线形无关的。