《常微分方程》考试参考答案(A卷)

《常微分方程》考试参考答案（A卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dyygdxxlnyxcx2、()()dyfxydx2xye3、2222MNyx4、1212(,)(,)fxyfxyLyy5、存在不全为0的常数12,kccc，使得恒等式11()()0kkcxtcxt对于所有[,]tab都成立()0wt6、412341011ii1234cossinttxcecectct7、322xxyyc二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dyydxxxy变量分离231ydxdyyxx两边积分2221(1)1211yxdxdxyxx2211ln1lnln122yxx22ln(1)(1)2ln||yxx从而解得通解为：222(1)(1)xycx2、解：先求30dxxdt的通解：33dttxcece利用常数变易法，令原方程解为3()txcte解得：3223551()5dttttttcteedtceedtcedtcec∴原方程的通解为：533211()55ttttxececee3、解：先求对应齐线性方程：(4)20xxx的通解特征函数42()210F123411从而通解为：1234()()ttxccteccte现求原方程一个特解，这里：2()30ftt0不是特征根，即原方程有形如：2xAtBtc的特解把它代入原方程有：2243AAtBtCt解得101ABC21xt∴原方程通解为：21234()()1ttxecctecctt4、解：令cossinyptxt2cosdypdxtdt原方程的通解为：11sin242yttc5、解：由111xy得112011abxy从而()(,)4222xyRfMmaxfxyyyLy∴11min(,)min(1,)44bhaM从而解存在区间为114x231123221327()011()3311()[()]3311111139186342ooxxxyxxdxxxxxdxxxxx2(21)1(21)!24oMLyyh