《微积分第二篇》第九章习题解答

1三、各章习题解答IX.【习题9.1】--【习题9.5】【习题9.1】(解答)1.单项选择题——判断所给微分方程的阶：(2)方程是(D);(1)微分方程是(A)；23sin()1xxy22e(1)0xdxydy44d1d1yxx(6)微分方程是(C)；(5)微分方程是(A)；(4)微分方程是(B)；22xyyy341dyxydxA.一阶微分方程;B.二阶微分方程;C.高阶微分方程;D.非微分方程.0526)5(yyyy(3)微分方程是(C)；【注】（2）中不含的导数（或微分），故非微分方程；（1）中y2和（5）中的y4都不能决定方程的阶数.22.单项选择题——方程的解A.20;B.20;yyyyyy(3)函数（C为任意常数）是二阶线性微分方程（D）的解.xeCyC.20;D.20.yyyyyy0dsind2yyxx00xy.1cos.D;1sin.C;0cos.B;0sin.A22yxyxyxyx60yyy(2)微分方程，满足的特解是(D).(4)二阶微分方程.e2.D;e2.C;e.B;e.A2222xxxxyyyy022dyydxx11xy.2.D;1.C;2.B;2.A22223333yxyxyxyx(1)微分方程，满足的特解是(A).20xy，满足的特解是(C).24sinyyx(5)下列函数中为二阶微分方程.sin41.D;sin31.C;sin21.B;sin.Axyxyxyxy的解是(B).3.验证题.3edd2yxyxxxCy23ee(1)验证函数(C为任意常数)为二阶微分方程xxCy23ee(1)验证函数(C为任意常数)为二阶微分方程的通解，并求该方程满足初始条件的特解．0|0xy,3eeee32ee3eedddd22232323yCCCxxyxxxxxxxx解：因故所给函数是所给方程的通解.在所给函数中,令x=0、y=0,得,1,10CC于是所求的特解为.ee23xxy3xxxyye,e21(2)验证函数都是微分方程的解，并求该方程的通解.解:，右边左边0ee)1(2e)2(xxxxxx02yy'y''方程的通解：下式说明代入方程将xxyyye,e111:e)2(e)1(22代入方程得、又将xxxyxy.0ee2e2xxxyy'y''.e2方程的通解所以xxy.ee21xxxCCy由此可得该方程的通解为）为任意常数、21(CC【习题9.2】(解答)(1)微分方程是(A);1.单项选择题——判断所给微分方程的类形：(2)微分方程是(B)；2()0xyyedxyxdy22(1)0xxyedxedy4d2dyyxxy4d32dyxyxxy(3)微分方程是(C)；(5)微分方程是(A)；(4)微分方程是(D)；222yxxyysindyyxxydxx(6)微分方程是(D);A.齐次方程;B.可分离变量方程;C.一阶线性方程;D.以上都不是.).(02121dd)3(3为自变量化为yyxyyx.d1de12e)2(2yyxxx化为.)()1(21dd)1(为自变量化为yyxeyxyx【注】4分离变量,两边积分得..dd2xxuu解得1||ln1Cxu.)e(e1CyxCxC故原方程的通解为xyydxdyx22yuxdyduxudxdx＝2.duxudx＝.2xyxydxdy2.填空题求解方程可变形为规范形式①.令，则有.代入①得..(2)2ddcosxxyy求解方程可分离变量化为.(1)1ddcos2xyyx.两边积分得..ddcos2xxyy解得.Cxy1sin）为任意常数C((3)xyxyln101yxy为求其通解，可首先对①式所对应的齐次方程②求解，将它分离变量得，两边积分得xxyydd,lnlnlnlnlnCxyCxy所以,齐次方程②的通解为.Cxy,可将其变形为规范形式①.称为一阶线性非齐次方程.xxCy)(接着采用常数变易解法，即令③,将其代入原方程得于是,ln1)(ln)(xxxCxxCxCxxxxxx2)(ln21lndlndln将此式代入③,得原方程的通解为2(ln)().2xyxCxC为任意常数解方程xxxyyln..C(x)=...5xxxyyln的通解为；(4)一阶非齐次线性方程)()(ddxQyxPxy的通解的公式为用公式写出；.d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP)(ln22为任意常数CxCxxy.ln2)ln21(dln1delnedelned)(22lnlnd1d1d)(d)(xCxxCxxCxxxxCxxCxxCxexQeyxxxxxxxxPxxP故即因.ln)(,1)(,ln1lnxxQxxpxyxyxxxyy通解为:【注】3.解答题423222(53)d(33)d0xxyyxxyxyyy263,PQxyyyx42320000(,)d(0,)d(53)dd,xyxyPxyxQyyxxyyxyyC5223331.23xxyxyyC解：设因为(1)求微分方程的通解.所以原方程为全微分方程，故得原方程的通解为42322253,33,PxxyyQxyxyy0)()(dyeedxeeyyxxyx的y(1)=0时的特解.11ln(1)ln(1)ln11yxyxyxyxyxeedydxeeeedydxeeCee解：原方程分离变量得，两边积分得，(2)解方程0)()(dyeedxeeyyxxyx的y(1)=0时的特解.11ln(1)ln(1)ln11yxyxyxyxyxeedydxeeeedydxeeCee解：原方程分离变量得，两边积分得，(2)解方程6(3)01()(1)(1).1,0(1)(1)0,(1)(1)0.yxyxCeeCxyeeCCee即得原方程的通解为其中为任意常数令代入通解得故所求特解为解：,yux令代入原方程得,yxu有,dyduxudxdx故＝xyyxy求微分方程的通解.xyyxy求微分方程的通解.1;duuxudxuyux将代回，即得yux将代回，即得ddxuux，两边积分得分离变量得211ln,2uxC原方程的通解22(2ln)yxxC(其中C=2C1为任意常数).解：代入原方程得,yxu有,dyduxudxdx故＝sec,duuxuudx两边积分得sinln,uxC,yux令dcosd,xuux分离变量得dsecdyyyxxx(4)求微分方程的通解.两边积分,d2d02ddxxyyxyxy解：对应的齐次方程为(5)(不用公式)求方程的通解.232ddxexxyxy(5)(不用公式)求方程的通解.232ddxexxyxyyux将代回，即得yux将代回，即得原方程的通解sinlnyxCx(其中C为任意常数).7,d2dxxyy即得,ln||ln2Cxy代入原方程得则令,)(2)(,)(22xxCxxCyxxCy.2xCy,)(2xxexC.21d)(22CexxexCxx)21(22Cexyx.)(为任意常数C最后得原方程的通解为解得21yy与是线性无关的.(iii)若方程①的通解为(1)设有方程：(其中p、q为常数)…①,0qypy是方程①的通解，则2211yCyCy(i)方程①称为二阶常系数齐次线性微分方程.(ii)若r1=2,r2=-3;于是p=1,q=--6.故原方程为，则方程①对应的特征根为(iv)若方程①的通解为特征根为-1±5i;于是p=2,q=26.故原方程为)5sin5cos(21xCxCeyxxxeCeCy3221，则方程①对应的.0262yyy.06yyy(其中p、q为常数)…②,(ii)若方程②对应的齐次方程的通解为(2)设有方程：1xqypy(iii)方程②的特解可设为：.,ee2221xxCCy则特征根为r1,2=±2;于是p=0,q=--4.,*bxay(i)方程②称为二阶常系数非齐次线性微分方程.【习题9.3】(解答)1.填空题8(i)若方程③对应的齐次方程的通解为(3)设有方程：(其中p、q为常数)…③,xxqypye12,e)(21xxCCy（重根）r1,2=1;于是p=-2,q=1.原方程为(ii)方程③的特解可设为：则特征根为.e122xxyyyy*=x2(Ax+B)ex.(见龚德恩书P416)(i)若方程④对应的齐次方程的通解为(4)设有方程：xqypy2sin10,e)sincos(21xxCxCyr1,2=-1±i;于是p=2,q=2.原方程为(ii)方程④的特解可设为：.xbxay2sin2cos则特征根为.2sin1022xyyy(其中p、q为常数)…④,60yyy)(21为任意常数、其中CC(1)二阶微分方程的通解是(C).ee.D;ee.C;ee.B;ee.A3221322132213221xxxxxxxxCCYCCYCCYCCY2.选择填空题又f(x)=x+1=(x+1)e0x,其中λ=0,非特征方程的根,取k=0.可设原方程特解y*=ax+b.得y*’=a,y*”=0,代入原方程解得a=-1/4,b=-1/4.于是方程的特解为解：特征方程为，14xyy.ee2221xxCCY其重根为r1,2=±2.042r齐次方程的通解为3.方程求通解(各题中的C,C1,C2皆为任意常数.)(1)求方程的通解.则该方程为（）：;02)B(;02)A(yyyyyy(2)设二阶线性微分方程的通解为xxeCeCy221.02)D(;02)C(yyyyyy).1(41*xy9解：特征方程为，.e)(21xxCCY特征重根为r1,2=1.0122rr齐次方程的通解为xxyyye122又因f(x)=12xex,其中λ=1,是特征方程的根,取k=2.从而可设原方程有特解y*=x2(Ax+B)ex.由于y*’=(3Ax2+2Bx)ex+y*,y*”=[3Ax2+(6A+2B)x+2B]ex+y*’，故得特解.e2*3xxyA=2，B=0.代入原方程得2B+6Ax=12x.对比系数解得所以原方程的通解为.e2e)(*321xxxxCCyYy(2)求方程的通解..)1(41ee*2221xCCyYyxx所以原方程的通解为解：特征方程为，.e)sincos(21xxCxCY特征重根为r1,2=1±i.0222rr齐次方程的通解为又因f(x)=(0cos2x+10sin2x)e0x,其中λ±ωi=0±2i,不是特征方程的根,取k=0.从而可设原方程有特解为y*=acos2x+bsin2x，于是y*’=－2asin2x+2bcos2x,y*”=－4acos2x-4bsin2x，代入原方程得(2B－A)cos2x－(B+2A)sinx=5sin2x.