《必考问题20数学思想在解题中的应用(二)》

必考问题20数学思想在解题中的应用(二)1．(2012·山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()．A．335B．338C．1678D．2012答案B[由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.]2．(2012·福建)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有fx1＋x22≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有fx1＋x2＋x3＋x44≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是()．A．①②B．①③C．②④D．③④答案D[取函数f(x)＝x－12，x∈[1，2∪2，3]，2，x＝2，则函数f(x)满足题设条件具有性质P，但函数f(x)的图象是不连续的，故①为假命题，排除A、B；取函数f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数满足题设条件具有性质P，但f(x2)＝－x2,1≤x≤3就不具有性质P，故②为假命题，排除C.应选D.]3．(2012·江西)下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．解析此框图依次执行如下循环：第一次：T＝0，k＝1，sinπ2＞sin0成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k＝2，2＜6，继续循环；第二次：sinπ＞sinπ2不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3,3＜6，继续循环；第三次：sin3π2＞sinπ不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4,4＜6，继续循环；第四次：sin2π＞sin3π2成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5,5＜6，继续循环；第五次：sin5π2＞sin2π成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6,6＜6不成立，跳出循环，输出T的值为3.答案31．分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法．2．等价转换思想的应用在高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想．1．分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型．2．转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在．比如：在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题.必备知识分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．化归与转化思想在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想．必备方法1．分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念．(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等．(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分的几个部分分类解决．(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数．(5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决．2．化归转化思想的几种情况(1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题．(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面．(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题，有时把问题中的某个部分看作一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想．(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决.由数学概念、法则、公式而引起的分类讨论常考查：①集合中对空集的讨论；②指对函数的底的讨论；③数列中由Sn求an分n＝1和n＞1的讨论；等比数列中公比q＝1和q≠1的讨论；④基本不等式相等条件是否满足的讨论．【例1】►(2010·天津)设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12－x，x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[审题视点]分a＞0，a＜0讨论求解．[听课记录]答案C[当a＞0时，由f(a)＞f(－a)，得log2a＞log12a，即log2a＞log21a，即a＞1a，解得a＞1；当a＜0时，由f(a)＞f(－a)，得log12(－a)＞log2(－a)，即log2－1a＞log2(－a)，则－1a＞－a，解得－1＜a＜0.所以a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．]有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．【突破训练1】若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案(1，＋∞)由参数的变化而引起的分类讨论常考查：①解不等式含参数的讨论；②函数解析式中含参数的最值与单调性问题；③二元二次方程表示曲线类型的判定．【例2】►已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax(0＜a＜1)，讨论函数f(x)的单调性．[审题视点]求出导数后，讨论函数f(x)的导数的符号即可．[听课记录]解f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1a－1.(1)若0＜a＜12，则x2＞x1.当0＜x＜1或者x＞1a－1时，f′(x)＜0；当1＜x＜1a－1时，f′(x)＞0.故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1.(2)若a＝12时，x1＝x2，此时f′(x)≤0恒成立，且仅在x＝12处等于零，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)若12＜a＜1，则0＜x2＜x1，当0＜x＜1a－1或者x＞1时，f′(x)＜0；当1a－1＜x＜1时，f′(x)＞0.故此时函数f(x)的单调递减区间是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.综上所述：当0＜a＜12时，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1；当a＝12时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当12＜a＜1，函数f(x)的单调递减区间是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．【突破训练2】(2012·东北三校联考)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a＞0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间－12，12上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0＜a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－12，000，12f′(x)＋0－f(x)极大值当x∈－12，12时，f(x)＞0等价于f－12＞0，f12＞0，即5－a8＞0，5＋a8＞0.解不等式组得－5＜a＜5.因此0＜a≤2.②若a＞2，则0＜1a＜12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－12，000，1a1a1a，12f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值当x∈－12，12时，f(x)＞0等价于f－12＞0，f1a＞0，即5－a8＞0，1－12a2＞0.解不等式组得22＜a＜5或a＜－22.因此2＜a＜5.综合①②，可知a的取值范围为0＜a＜5.转化与化归思想的应用常考查：特殊与一般、常量与变量、正与反或以换元法为手段的转化．【例3】►若抛物线y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，则实数a的取值范围是________．[审题视点]至少有一条与x轴相交情况，包括七种情况，直接求解比较困难，从其反面考虑．[听课记录]解析由Δ1＝4a2－43－4a＜0，Δ2＝a－12－4a2＜0，Δ3＝2a2＋8a＜0，解得－32＜a＜－1，再求它的补集，则a的取值范围是：a≤－32或a≥－1.答案－∞，－32∪[－1，＋∞)在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法．【突破训练3】对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．解析设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.要使f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于f0＞0，f4＞0，即x－3x－1＞0，x2－1＞0，解得x＞3或x＜－1.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)突破转化与化归的瓶颈转