《方程的根与函数的零点》教学设计

3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计黄钦一、教材、学情分析1、本节在教材中的地位和作用本节内容是人教版高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，揭示方程与函数之间的本质联系，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用。2、学生已有的认知基础是初中学习过二次函数定义、图象及性质和一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数的图象与性质．二、教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。（3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。三、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理难点：探究并发现零点存在性定理及其应用四、教法学法以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台五、教学过程教学环节教学设计设计意图教学内容教师活动学生活动课前复习复习：一元二次方程与一元二次函数的关系共同复习通过复习引入，使学生进一步熟悉一元二次方程与一元二次函数的关系，为本节内容打下伏笔。1启发引导探究新知探究任务一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？探究任务二：研究具体的一元二次方程和相应函数的关系。（1）0322xx（2）0122xx（3）0322xx思考：从该表你得出什么样的结论？探究任务三：并推广观察一元二次方程)0(02acbxax的根与相应二函数)0(2acbxaxy图象与x轴交点的关系？建构函数零点概念函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，并进一步分析零点概念及其三个等价关系。思考：（1）零点是一个点吗？（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？请根据函数零点概念解决下面问题：（题目由幻灯片展示）分析引导探究（师生互动）师生共同分析研究得出有效的结论。让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。师生共同分析研究由分析具体方程与相应函数图像的关系，为引出函数的零点及其研究方法埋下伏笔。通过让学生归纳总结进一步强化方程的根与函数的零点思想。采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数形结合。以学生已有的认知为生长点，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。为了帮助学生正确理解并掌握零点概念问题设置2个问题（1）强调：零点指的是一个实数（2）揭示函数xf的零点0x00xf并把概念符号化（3）让学生从数与形两个方面去寻找零点。2探究任务四：研究小马是否过河问题并建构数学思想探究任务五：观察二次函数322xxxf的图像，我们发现322xxxf在区间1,2上有零点。计算2f和1f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点吗？在区间4,2上是否也具有这种特点呢？发现零点存在性定理如果函数xfy在区间ba,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0bfaf，那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,使得0cf这个c也就是方程0xf的根。思考1：你能说出应用零点存在性定理应注意哪几个条件？思考2：如何判断闭区间上零点存在且唯一？引导学生注意应用定理时三个条件缺一不可（1）闭区间；（2）图像连续；（3）端点函数值异号。注意强调区间中零点不一定唯一。引导让学生先自主探究再小组合作交流，鼓励学生进行大胆的猜想探究、讨论师生互动、共同讨论研究让学生在实际生活中寻找数学问题，强化数学来源生活服务生活，并进一步激发为函数的零点学生的学习热情，并为函数的零点存在性原理打下伏笔。一个好的猜想将会推动数学的发展，因此在数学教学中培养学生猜证结合的思想方法是至关重要的，为培养二十一世纪具有自主创新能力的人才奠定基础。探究的过程再次经历特殊到一般的思想引导学生理解函数零点存在性定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．从而突出本节的重点，突破难点。例题讲解例1：判断下列命题那些是正确的，那些是错误的。利用前面学知识，独立思考完成。进一步加强学生对函数的零点存在性原理的正确理解。3例2：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数？思考：试判断这个函数的单调性并加以证明。给学生充分的时间让学生先独立思考再合作交流本道例题让学生体会如何运用零点存在性定理及函数图象和函数基本性质（特别是函数单调性）在确定零点中的作用，思考题为了进一步让学生体会：用零点存在性定理判断零点存在，用单调性证明零点唯一。课堂练习(1)、函数xxxf2ln的零点所在的大致区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.1,1e和（3，4）D.,e(2)若方程0122xax在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围（）A.a-1B.a1C.-1a1D.0a1学生自主完成，遇到自己无法解决的问题，可以与同学合作交流，教师不断给学生总结解题的方法，培养学生善于归纳反思能力通过两道练习让学生学会如何使用零点存在性定理，体会函数与方程思想，同时教师对学生出现的问题及时解决，新知识的接受需要不断深化和完善的过程。课堂小结请你谈谈本节课的收获？（1）、函数零点的概念（2）、三个等价关系（3）、如何应用零点存在性定理判断函数的零点存在性以及个数让学生自己对本课进行小结，教师对学生的小结给予肯定并补充完善。学知识印象。共同反思，优化学生的认知结构，培养学生自觉独立学习习惯，提升在学习中反思小结的能力。作业布置六、教学评价（反思）