《概率论与数理统计》(复旦大学)第五章习题答案

[键入文字]1习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10X18}.【解】设iX表每次掷的点数，则41iiXX22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666iiEXEX从而22291735()()[()].6212iiiDXEXEX又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而44117()()()414,2iiiiEXEXEX44113535()()()4.123iiiiDXDXDX所以235/3{1018}{|14|4}10.271,4PXPX2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令1,,0,iiX若第个产品是合格品其他情形.而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.现要求n,使得1{0.760.84}0.9.niiXPn即10.80.760.80.840.8{}0.90.80.20.80.20.80.2niiXnnnnnPnnn由中心极限定理得0.840.80.760.80.9,0.160.16nnnnnn[键入文字]2整理得0.95,10n查表1.64,10nn≥268.96,故取n=269.3.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,()140,()42,EXDX1400.95{0}().42mPXmPXm查表知1401.64,42m,m=151.所以供电能151×15=2265（单位）.4.一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=201kkV，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2,…,20由中心极限定理知，随机变量201205205~(0,1).10010020201212kkVVZN近似的于是205105205{105}1010020201212VPVP1000.3871(0.387)0.348,102012VP即有P{V105}≈0.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？[键入文字]3【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）从而301000.2{30}1{30}11000.20.8PXPX1(2.5)10.99380.0062.6.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,,1,2,,100.0,.iiXi第人治愈其他令1001.iiXX(1)X~B(100,0.8)，1001751000.8{75}1{75}11000.80.2iiPXPX1(1.25)(1.25)0.8944.(2)X~B(100,0.7)，1001751000.7{75}1{75}11000.70.3iiPXPX51()1(1.09)0.1379.217.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X，则p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故12050130{20}6.8956.89547.547.5PX61304.510.6.8956.8958.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数[键入文字]4分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】11()10,0.1iET21()100,iDT()1030300,ET()3000.DT故3503005{350}111(0.913)0.1814.300030PT9.上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而1{3068}0.95,niiPT即3068100.05.10nn故102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn所以需272a元.10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而400iiXX,由中心极限定理得4004001.14001.1~(0,1).4000.19419iiXXN近似地于是4504001.1{450}1{450}1419PXPX1(1.147)0.1357.(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得[键入文字]53404000.8{340(2.5)0.9938.4000.80.2PY11.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}.由中心极限定理有5000100000.515{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485PX12.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件90010000.9{}.10000.90.190nnSmmS由中心极限定理知：10000.9{}1{}10.95.10000.90.1nnmPmSPSm从而9000.05,90m故9001.65,90m所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.900{}0.95.90nMPSM查表知90090M=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.13.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.[键入文字]6(1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为1120100000.006{120}100000.0060.994100000.0060.994PX21(60/59.64)230.181116011e59.6459.64259.640.0517e0(2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X于是所求概率为60100000.0060100000.006{060}100000.0060.994100000.0060.994PX60(0)0.5.59.6414.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有()0,()()()()2()()3.XPEZDZDXYDXDYDXDY所以2()31{|()|6}{||6}.63612DXYPZEZPXY15.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1）X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是100100{}C0.20.8,1,2,,100.kkkPXkk(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得301000.2141000.2{1430}1000.20.81000.20.8PX(2.5)(1.5)0.994[9.33]0.927.16.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.[键入文字]7【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,iEX()5,iDX()50,nETn()5.nD