《力学》之质点力学

§1-1质点参照系坐标系§1-2描述质点运动的物理量§1-3自然坐标系下的速度和加速度圆周运动§1-4相对运动由繁到简将物体模型化为一个点——质点由简到繁质点——质点系质点•作平动的物体，可以被看作质点。•两相互作用着的物体，如果它们之间的距离远大于本身的线度，可以把这两物体看作质点。1.质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点.质点是一种理想的模型条件：平动物体&尺度远小于相互作用距离复杂物体可看成质点的组合.2．参照系研究物体运动状态时选作参照的物体。对物体运动的描述与参照系有关---运动的绝对性与其描述的相对性.参照物的选择直角坐标系：P（x,y,z）自然坐标系：为标定物体空间位置而设置的坐标系统.P(x,y,z)zyxO3．坐标系极坐标系：球坐标系：柱坐标系：1．位置矢量kzjyixr1.1定义1.2位置矢量的直角坐标分量rzryrxzyxrcos,cos,cos222方向：大小：从坐标原点O指向质点位置P的有向线段.P(x,y,z)zyxOkijr1.3运动方程ktzjtyitxr)()()()()()(tzztyytxx——轨道方程(,,)0(,,)0tFxyzGxyz消去zyxOPrrPrs2．位移()()rrrrttrt位移与路程：sr3．速度平均速度：3.1速度vrtrttrtt()()zyxOPrrPrs瞬时速度:dtrdtrvtlim0瞬时速度的方向:沿轨道切线方向dsvdt瞬时速度的大小：——瞬时速率3.2速度的直角坐标分量222()()()()::cos,cos,cosxyzxyzyxzvvarrtxtiytztjdrdxdydzvijkvivjvkdtdtdtdtvvvvvvvvvv大小方向平均加速度：4.1加速度瞬时加速度：加速度与速度的方向一般不同.ttvttvtva)()(220limdtrddtvdtvatxOzyPrPrvvvvv4．加速度4.2加速度的直角坐标分量222()()()()::cos,cos,cosxyzyxzxyzxyzyxzaaavvtvtivtjvtkdvdvdvdvaijkaiajakdtdtdtdtaaaaaaaaaa大小方向运动学的两类问题：1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度22dtrddtvdadtrdvtrr2.已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程1vadtc2rvdtc()aat0000ttvvrr确定。其中1c和2c由初始条件：例1-1已知某质点的运动方程为：)0)(]()2()12[(32tmjtitr求：（1）轨道方程；（2）t=0（s）至t=2（s）内的平均速度；（3）t=0（s）和t=2（s）时的瞬时速度；（4）t=0（s）至t=2（s）内的平均加速度;（5）t=0（s）和t=2（s）时的瞬时加速度。解：（1）)1()21(22122/332xxytytx（2）))(88(67,220mjirjirjir)/)(44(smjitrv（3）jtitdtrdv234)/)(128(,020smjivv（4）jtitdtrdv234jivv128,020)/)(64(2smjitva（5）jtidtvda64)/)(124(),/(42220smjiasmidtvda•直线运动•一沿X轴直线运动的物体在t0时刻的初始运动状态为(x0,v0)，•加速度•求t时刻的位置和速度)(00ttbaaadtdvttttttdtttbaadtdv000)]([00解：微分关系式两边积分])(21[])(21[])(21[2000020020000ttbtattbtattbtavvtt20000)(21)(ttbttavv再求t时刻的位置vdtdx微分关系式ttttttdtttbttavvdtdx000])(21)([20000两边积分30200000)(61)(21)(ttbttattvxx物体运动的初始状态与积分常数一一对应例1-2抛体运动规律：一物体以初速度v0，抛射角抛出，求：（1）t时刻物体的速度；（2）物体运动方程；（3）物体运动轨道方程。gyv0Ox解：（1）0xyaag11xxxyyyvadtcvadtgtc00101000coscossinsinxtxyytvvcvcvvv00cossinxyvvvvgt（1）（2）02202cos1sin2xxyyxvdtvtcyvdtvtgtc20200000xtytxccy020cos1sin2xvtyvtgt（2）（3）（2）式消t得22202cosgyxtgxv（3）讨论：1）飞行时间：（2）式令y=0得02sinvTg2）上升高度：由（3）式可得：220maxsin2vHyg3）射程：（3）式令y=0得20sin2vsg甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上用手枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速为零）。问：（1）甲是否被击中？（2）若被击中的时间和地点。思考甲乙例1-3如图，一人拉着绳子的一端在水平面上以速度0v匀速前进。求当绳子与水平面夹角为时，重物上升的速度和加速度。yhxv解：（1）22yhxhL00022cosvxdydydxdyvvvdtdxdtdxxh（2）2223000223/2sin()vhvdvdvdxdvavdtdxdtdxxhh练习-1已知质点的运动方程jtitr22192求：（1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？解：2219,2tytx（1）消去时间参数22119xy（2）jijirt11422192222jtidtrdv42m/s822jivtm/s25.882222v8575281tg课堂练习（2）已知,costAaxtBaysin,BA,0,0BA。初始条件为:当0t时，0,,,00000YAXBVVyx。求质点的轨道方程。12222ByAxsinxRcosyRcoscosdxddvvRdtdtdtRsintanpdydvRvdtdt223tansectancosppdvdvaavadtdtR一半径为R的半圆柱体沿水平方向作加速度为a的匀加速运动，如图示。竖直杆只能在竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P的角位置为。求此时竖直杆运动的速度和加速度。yRxPyRxP运动学复习题在质点的运动轨迹上，任取一点o作为坐标的原点。从原点o到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P点的坐标s。切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为规定：nnsoPnQs1.3.1自然坐标中的速度和加速度坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。路程：自然坐标之差QPsss速度：dsrddtdsdtrdv速率：dtdsvnsoPnQs法向加速度和切向加速度设：某一质点作一般曲线运动t时刻位于点，速度为v经过t时间位于点，速度为2Pv速度增量：vvv平均加速度：tva瞬时加速度：tvatlim01P2Pvvsvvvvvvnvnvvvtvtvtvantttlimlimlim000dtdvtvtvattlimlim00加速度：右边第一项称为切向加速度，用表示a•切向加速度反映速度大小的变化•其方向沿轨道切线方向vtssvtvtvnttntalimlimlim000其中：vdtdststlim01lim0st法向加速度2van右边第二项称为法向加速度tvantnlim0方向：沿法线方向，指向曲率中心。nvan2vvvnvv大小：全加速度：aaan全加速度的大小：22aan全加速度的方向：aaarctgn例：抛体运动anagm极坐标系(不做考试要求）)(trree极坐标系),(r基矢),(eer任意矢量的分解eAeAtrArr),,(与直角坐标系的变换sin,cosryrx*正交基矢与极坐标的微分关系)(trreedededrreded正交基矢只依赖，与r无关当θ变化时，正交基矢同时改变方向满足微分关系*极坐标系中位置矢量、速度和加速度的表示位置矢量rerr速度vvedtdredtdrdtedredtdrdterddtrdvrrrrr)(rrrrevedtdrvevedtdrv径向速度横向速度)(trreerrrrevedtdrvevedtdrv径向速度横向速度径向速度依赖r随时间的变化和径向基矢横向速度依赖r、θ随时间的变化和横向基矢当r和θ随时间变化时，径向速度的变化包含两项横向速度的变化包含三项径向基矢和横向基矢依赖θvvrvrrredtddtdredtdredtddtdredtddtdredtrdedtdredtdrdtddtvda2222径向速度大小的变化径向速度方向的变化r增大引起横向速度的变化角速度增大引起横向速度的变化横向速度方向的变化edtdrdtddtdredtdrdtrdeaeaaaarrrr222222径向加速引起横向旋转引起径向变化与横向旋转共同引起加速旋转引起加速度*平面极坐标系中质点运动的轨道方程在平面上，质点的运动方程)(trr在极坐标系中，质点的运动方程)()(ttrr消去时间参量t，得到极坐标系中的质点运动轨道方程)(rr若已知径向速度与横向速度，利用vrvddrr通过积分，可以得到轨道方程)(rr*例狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。求狗的速度、加速度和轨道方程。狐狸的角速度Rvdtd狗有横向和纵向速度22,vvvrvr狗的横向和纵向加速度22222,2dtdrdtrdadtdrdtddtdrar轨道方程22rRvvrddrr0022drRdrrs