《流体力学》辅导材料

流体力学辅导材料5第5章【教学基本要求】掌握1.相似概念2.相似准则的意义与常用流动相似准则3.量纲分析的基本方法【学习重点】1.相似的概念。2.相似准则数的物理意义。3.量纲分析法，定理，以及应用。4.相似准则数的应用，自动模拟的概念。【内容提要和学习指导】5,1一、物理现象相似如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征量之间的比值在所有对应点上保持常数，1.流动的力学相似力学相似包括：几何相似，运动相似，动力相似。1）几何相似：两流场中对应长度成同一比例。对用边成比例:对应角相等：流场边界的几何相似：对于绕流问题，分为有界流场和无界流场，对于无界流场内边界为物体表面，外边界为无穷远，对于有界流场，应有外边界的几何相似。对于内流问题，几何相似就是流道的几何尺度相似。2）运动相似：两流场中对应点上速度成同一比例，方向相同。1212ppLmmLLCLLpmpm1212ppvmmVVCVV0000limlimlimpmpmpptppmlvmpmtttmmtllvtlCCltvCtt即运动相似的系统，时间也相似。运动相似必须以几何相似为前提。即运动相似的系统中，加速度也相似。3）动力相似：两流场中对应点上各同名力同一比例，方向相同。在几何对应点上，所作用的同名力对应相似，这些作用力包括重力，惯性力，压力，粘性力等。如图９-１所示。pipgppFmimgmppimipgmgppmpFFFCFFF在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边之间的夹角应相等。动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相似。所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物理量相似。两系统之间存在密度相似和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。密度相似无因次流体流体动力系数由下式定义：Ｃ其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定的作为特征量的流体密度、速度和面积。下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等02000limlimlimpmpmpptppmvlampmttttmmtvvatvCCCvtaCCttppFmmFGCFG0200000limlimlimlimpmppmmpppptppmmmFamppmltttmmmttmmGgvmGgCCCmvvCvvv212PPCvS22222111222pFmmFPpppmvmsmpvsmmmPCPPCCvSCCvCSCCCvS若几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。三.相似准则（判据相似准则的作用：判断两个流动现象是否相相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的无量纲组合数。在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这些关系就是由相似准则推导出来的。5,2相似理论1.2.若流动现象的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似。３.结论两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程式相同。若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程式可以应用到原形流动中去。1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型系统的特征长度、特征速度，流动介质等。2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的一切物理量，并把它们整理成相似准则。3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整理成关系公式（曲线），以便应用到原形流动中5,3量纲分析法流动现象相拟的充分必要条件是，满足同一微分方程式，而且边界条件和初始条件相似。对于两个流动相似粘性流体流动，均满足纳维尔——斯托克斯方程以ｘ方向方程为例一撇:原形系统两撇：模型系统两系统流动相似，所有同类物理量成比例，对应的相似常数表示如下：221(div)31(div)3xxxxxyzxxxxxxyzxvvvvpvvvXvvtxyzxxvvvvpvvvXvvtxyzxx,,,,,,,,,,,,xylllxvyvzvzgggtpxcxycyzczvcvvcvvcvXcXYcYZcZtctcpcpc代入原方程可得:对于模型系统，物理量要同时满足两式。全式除以变位惯性力项得：引入音速的传播公式：对应的相似常数为所以所以因此可以得到如下五项重要的结果：特洛哈尔数：佛劳德数：欧拉数：雷诺数：22()1[()]3vxvxxxxyztlpvgxllcvcvvvvvvctcxyzCCCpCXvdivvCCxCx局部惯性力22pvvvgtlllCCCCCCCCCCC变位惯性力质量力压力粘性力2vlCC221lgplvtvvvlCCCCCCCCCCCC2pa222pavvCCCCC222/paCappCaC22221lgplavtvvvlvCCCCCCCCCCCCCC22221,,pvpECpCCvuvpv1,,lvtCllCCvtlStvtvt22221,,glvvFCCvvCglglrgl1,,RelvCvlllCCvv马赫数：以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）相似准则的物理意义：Re迁移惯性力粘性力雷诺数反映了流体粘性的作用，和粘性力有关的现象由Ｒｅ来决定，如卡门涡街的产生和激发振动，层流过渡为湍流，以及潜艇水下航行的阻力系数等都和Ｒｅ密切有关，另外雷诺数数值的大小还反应惯性力和粘性力的比值，Ｒｅ大表示粘性作用小，而Ｒｅ小则表示粘性作rF迁移惯性力重力佛劳德数是惯性力与重力的比值表示现象的重力作用相似，所以和重力有关的现象由Ｆｒ决定，例如波浪运动和舰船的兴波eS迁移惯性力局部惯性力斯特洛哈尔数反应流体非定常运动的相似，对于周期性的非定常运动就反映其周期性相似。Ｓｔ相等表示现象的周期性相似，所以和周期性有关的非定常流动由Ｓｔ来决定，uE压力迁移惯性力欧拉数反应压力对流体的作用。，所以和压力有关的现象由Ｅｕ来决定，例如空泡完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。部分相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相似准则。自动模拟：当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应的雷诺数也不同。2222221,,avvMaCvavCaa5.4Π定理：描述某流动现象的各物理量a，12,,n之间的关系式Ａ＝ｆ（ａ，12,,n）这种关系式称为准则关系式或准则方程式基本概念：量纲：物理参数度量单位的类别称为量纲或因次。基本量纲：基本单位的量纲称为基本量纲，基本量纲是彼此独立的，例如用,,LMT来表示长度，质量和时间等，基本量纲的个数与流动问题中所包含的物理参数有关，对于不可压缩流体流动一般只需三个即,,LMT（长度，质量和时间），其余物理量均可由基本量纲导出。导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数1LT等。量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲的方程可以用无量纲形式表示。无量纲数：又称无因次数，例如压力系数212ppCVA定理：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。设某个物理现象与n个物理量12,,,n有关，可以由函数关系式12(,,,)0nf表示。如果n个物理量中有P个基本量纲,则可将n个物理量组合成n-p个独立的无量纲数1，1，n-p，因而该物理现象可以由无量纲关系式12(,,,)0npF所描述。在不可压缩流体流动中，p=3,则有123(,,,)0nF不可压缩流体流动中定理的运用：1）在n个物理量中选3个基本量（循环量），基本量选取的一般原则：为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量，为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量，为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。2）用所选定的3个基本量与其余n-3个物理量依次组合成无量纲数。【例题】例1管径ｄ，管长Ｌ,流体的运动粘度ν以及管壁粗糙度Δ有关，因此可以写出下列函数关系式：（９-取ρ，Ｕ，ｄ作为基本量，根据Π定理（９-A=1.c=0,b=-2所以类似方法有因此或管道沿程损失沿程阻力系数例2采用缩尺比为1/20的潜艇模型在水洞中进行试验，潜艇长L，速度U，海水密度ρ，运动粘性系数，潜艇的阻力F;试验用水密度ρm，运动粘性系数m，设流动定常，确定：1）水洞试验时的水速，2）潜艇与模型的阻力比。解：1）采用雷诺数相似，潜艇原型的雷诺数为：ReUL，按照缩尺比120mLL,13112000abcabcVDpMLLTLMLTMLT1031010aabcb:::MLT12pV2LD3eR4D1234(,,)F2,,,eepLLFRfRVDDDD22fpLVhgDg,eRD模型试验的雷诺数为RemmmUL两雷诺数应该相等：mmmULUL得模型试验水速20mmmmLUUUL2）由阻力系数相等（阻力系数也是相似准则数）：22mDmmmFFCULUL所以22201140020mmmmmmmmUULFFUUL例3已知实船长L=100m，rF=0.4，船模速度U=1m/s，考虑兴波阻力实验下的船模长度和实船速度。解：由佛鲁德数相等0.4mmULg船模长度为221.0()/()/9.810.6370.40.4mmULgm由0.4ULg得：12.53m/s例4船用螺旋桨转数为800转/分，模型缩尺比为1/10，考虑粘性相似求模型转速。解：螺旋桨的线速度为nD所以22RemmnDnD110mDD210080080000mmDnnD转/分例5缩尺比为1：64的船模，模型试验测得兴波阻力10N，求原船的兴波阻力。解：由兴波阻力系数相等：221122wmwwmmFFCUAUA佛鲁德数相等mrmUUFLgLg速度之比：18mmLUUL面积之比：21()4096mmALAL原船的兴波阻力221010644069=2604160NwmmUAFAU例6球体在流体中运动，所受阻力R与流体动力粘性系数，密度，球的半径r及球的运动速度U有关。试用定理给出阻力的表达式。解：将该流动问题所涉及的物理量共有n=5,涉及的基本量纲,,MLT即p=3,选,,Ud为基本量（循环量），可组成余下的n-p=2个无量纲数1和2的组合。23111321()()()abcabcaabcbRUDMLTMLLTLMLT113111322()()()abcabcaabcbUDMLTMLLTLMLT因为1和2为无量纲数，所以分别有：1013020