《物理学基本教程》课后答案第十四章电磁场理论的基本概念

第十四章电磁场理论的基本概念14-1平板电容器由半径为R的两块圆形极板构成，用长直电流给其充电，使极板间电场强度增加率为dE/dt，L为两极板间以r为半径，圆心在电容器对称轴上，圆平面与极板平行的圆．以L为边界，作曲面S使圆平面与S形成闭合曲面以包围电容器的一个极板，如图14-1所示，求通过曲面S的全电流，(1)rR时；(2)rR时．分析全电流定理指出，磁场强度沿闭合回路L的线积分等于通过以L为边界的曲面S的全电流，当回路L一定时，积分值是一定的，与所取曲面形状无关．因此以r为半径的圆作为回路，通过圆平面的全电流应等于通过曲面S的全电流．由于本题中通过S的传导电流是未知的，可以计算通过圆平面的全电流获得所需结果．解(1)rR时，穿过以L为边界圆平面的传导电流为零，圆面积为2rS，电位移通量为ErSDD02，位移电流为tErtIDdddd02DSSIIIILL图14-1所以穿过S面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为tErIIdd02D(2)rR时,因为忽略边缘效应，平板电容器的电场局限在极板内，极板面积为2RS，穿过以L为边界的圆平面的传导电流为零，电位移通量为ERSDD02，位移电流为tERtIDDdddd02所以穿过S面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为tERIIDdd0214-2平板电容器的圆形极板半径为R=0.04m，放在真空中．今将电容器充电，使两极板间的电场变化率为2.5×1012V/(m.s)．求：(1)两极板间位移电流的大小；(2)r=0.02m处及r=0.06m处的磁感强度．分析通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场局限在两极板间．解(1)电容器的极板面积为2RS，穿过以L为边界的圆平面的电位移通量为ERSDD02，位移电流为tERtIDDdddd02A111.0A105.21085.804.014.312122(2)在两极板间取半径为r的磁场线为安培回路L，当r=0.02mR时，电位移通量为ErSDD02，位移电流为RrIIEL图14-2tErtIDdddd02D由于磁场的对称性，H的方向在圆周回路L的切线方向，大小处处相等，根据全电流定理，得DIIrH2dLlH则T1078.2dd2270000tErIrHBD当r=0.06mR时，因为电场局限在两极板间，求电位移通量时，只应计入极板的面积2R，ERSDD02，位移电流为tERtIDDdddd02得T1071.3dd22720000tErRIrHBD14-3给极板面积S=3cm2的平板电容器充电，分别就下面两种情形求极板间的电场变化率dE/dt：(1)充电电流I=0.01A；(2)充电电流I=0.5A．分析极板内的位移电流与极板外的传导电流在大小和方向上相同，给出传导电流的大小相当于给出位移电流的大小，再根据位移电流的定义便可求出dE/dt．解极板间位移电流为ItESDSttIDDdddddd0(1)当充电电流I=0.01A时，得s)V/(m1077.3dd120SItE(2)当充电电流I=0.5A时，得s)V/(m1088.1dd140SItE14-4平板电容器的正方形极板边长为0.3m，当放电电流为1.0A时，忽略边缘效应，求(1)两极板上电荷面密度随时间的变化率；(2)通过极板中如图14-4所示的正方形回路abcd间的位移电流的大小；(3)环绕此正方形回路的LdlB的大小．分析若极板上电荷面密度，则对于平板电容器有D=．解(1)极板上电荷Sq，根据传导电流的定义，有tStqIdddd，得s)C/(m1.11s)C/(m3.00.1dd2222dISIt（2）正方形回路abcd间的位移电流为A0.111A1.111.0dddddd2DtSDSttIabcdaabcdaD（3）正方形回路abcd的磁感强度环流为DabcdaI0dlB1.39×10-7Wb/m14-5证明对任意形状电容器,当电容量C不变化时,位移电流为tVCIDdd,其中C为电容器电容,V为两极板电势差．证对任意形状的电容器,t时刻极板带电量q=CV，当C不变时tVCtqddddItVCIIDdd14-6极板面积为S的一平板电容器与一电动势为E的电源相连接,若电abcd0.1m0.3m图14-4容器两极板间的距离d随时间变化,且两极板相互离开的速度的大小为v.在不考虑电源内阻及线路内阻的情况下,忽略边缘效应,求两极板间的位移电流.分析两极板以速度v相互离开时,电容器始终与电源相连,不考虑电源内阻,也不考虑线路内阻,两极板的电势差正好为电源电动势．于是可以计算出极板间场强和电位移矢量．解板间电位移矢量大小为D=dEE00200)(ddddddtSStDIDEEvS14-7如图14-7所示，匀速直线运动的点电荷+q，以速度v向O点运动，在O点处画一半径为R的圆，圆面与v垂直(vc)，试计算通过此圆面的位移电流．应用全电流定理计算圆边缘某一点的磁感强度．设运动电荷与该点的距离为r,把计算结果与运动电荷的磁感强度计算式304rqrBv作比较.分析由运动电荷的磁感强度表示式可以看出，该磁场具有轴对称性，即以电荷运动方向为轴线，与轴线距离相等并与电荷距离相等处磁感强度大小相等、方向在垂直于轴线并以轴线为中心的圆的切线方向．解半径为R的圆中心到电荷的距离为x，其边缘到电荷的距离22xRr，如图14-7所示，当vc时,运动点电荷周围电场具有球对称性，以电荷为中心、r为半径的球的电位移通量为q，通过给定圆的电位移通量等于以r为半径以该圆为边界的球冠的通量．球冠面积为)(2xrr，则通过给定圆的电位移通量为21222)(114)(2xRxqrxqrxrrqD因txdd=-v，则通过圆平面的位移电流为2/32222/3222)(2)(dd2ddxRqRxRtxRqtIDDv(1)分析表明，运动电荷的磁场具有轴对称性，磁场线是垂直于轴线圆心在轴上的一系列同心圆．设圆边缘某点P的磁感强度为B，磁场强度为H，以给定圆为积分回路L，应用全电流定理和(1)式，得23222L)(22dxRqRIIRHDvlH2/322)(4xRqRHv由于2/122)(sinxRR，22xRr，则2004sinrqHBv因磁感强度方向在垂直于轴线的圆的切线方向，并利用矢量积rv的定义，可以将上式写成矢量式，为PrRvO图14-7304rqrBv与运动电荷磁感强度计算公式相同．