《复变函数》(北邮)2012-2013年第一学期期末答案A

1北京邮电大学2012——2013学年第一学期《复变函数》期末考试试题答案(A卷)一、填空题（每空4分，共40分）1、设iziz3,2121，则21zz的指数形式表示为122ie。2、2Res(,1)1zez2e_______。3、设1()sinfzz，则)(zf的定义域为___,zkkZ_______。4、函数21()11fzzz=+在的幂级数展开式为____20(1)nnnz_。5、函数ize的周期为2,kkZ。6、0nnnz的收敛半径为1。7、设C是iez，从π到π的一周，则Re()dCzzi。8、ii=)41(2ke。9、设(0)1,(0)1,ffi¢==+则0()1limzfzz®-=1+i。10、方程13zei-=的解为ln2(2),3ikkZ。二、选择题（每题4分，共16分）1、函数cot23zz在2zi内的孤立奇点的个数为（C）A．1B．2C．3D．422、1z是函数1(1)sin()1zz的（D）A．可去奇点B．一阶极点C．一阶零点D．本性奇点3、与函数()(,)(,)fzuxyivxy在za点解析等价的条件是（B）A．()fz在za可导B．()fz在za邻域能展成幂级数C．u，v满足C-R条件D．u，v可微4、下列命题正确的是（C）A．如果()fz存在，则()fz在za点必解析B．每一幂级数在它的收敛圆内及收敛圆上皆收敛C．若函数()fz在区域D内解析且为实值，则()fz在D内是常数D．每一幂级数收敛于一个解析函数三、计算题（每题5分，共10分）1、计算31sin(1)zzzzdze=-òÑ解：被积函数在|z|=1内只有一个奇点z=0,是一级极点···2分233300sinsinsinRe[,0]limlim()()1(1)(1)1zzzzzzzzzzzseeez···4分原式=i2···5分2、设),(yxu2223223yxxyx，判断函数),(yxu在全平面为调和函数，并求以),(yxu为实部的解析函数)(zf，使0)0(f。解：46,46xuxuyyxx，所以0u，函数),(yxu在全平面为调和函数。···2分3由解析函数的求导公式得,43)('2zziuuzfyx所以232)(zzzf。···5分四、（6分）利用留数定理计算积分2012sindxx解：2200002,12sin5cos25cos2(1cos2)2dxdxdxdtxxtx···1分设itze，则1,cos,2dzzzdttiz···2分所以2120||1||12,5cos10152zzdzdtdzizizztzz···3分22||11624Res(,526).1011016zdzizzzz···6分五、（6分）求证，如果0z是()fz的(1)mm级零点，那么0z是0()fz的1m级零点。证0()()()mfzzzz···2分故100()()()()()mmfzmzzzzzz10010()[()()()]()()mmzzmzzzzzzz···4分()z在0z解析，且00()()0zmz，故0z是()fz的1m级零点.···6分六、（6分）如果()fzuiv是解析函数，证明222(|()|)(|()|)|()|.fzfzfzxy证22|()|fzuv，故42222|()|,|()|yyxxuuvvuuvvfzfzxyuvuv···2分由C-R条件得22|()|xxuvvufzyuv···4分故2222222222()()(|()|)(|()|)xxuvuuvvfxfzxyuv222|()|.xxuvfz···6分七、（8分）把函数)2)(1(1)(2zzzf在区域1|z|2展开成洛朗级数。解：原式=21511102111021ziziizi···2分其中0)(11111nnzizziziz···4分0)(11111nnzizziziz···6分0)2(212112121nnzzz···8分八、（8分）判定11shsinzz孤立奇点的类型，并求相应奇点处的留数.解（1）0z是一个孤立奇点，···2分而0sinshlim0sinshzzzzz，故这是可去的奇点从而11Res(,0)0.shsinzz···4分（2）0,sh0πi,1,2,),sin0,π,(1,2,)zzzkkzzkk因此，πzk和πik均是此函数的一级极点，···6分5且πi11111Res(,πi)lim(πi)(1),shsinshch(πi)cos(π)kzkkzkzzzkk1π1111Res(,π)lim(π)(1),(1,2,).shsinsincosπkzkkzkkzzzk···8分