《复变函数》(北邮)2013-2014年第一学期期末答案B

1北京邮电大学2013——2014学年第一学期《复变函数》期末考试试题答案(B卷)一、填空题（每空4分，共40分）1、设iz2321，则2009zi23212、若1(z)2fz=+，则Re[f(z),]s?-1.3、)1tan(Arc4k4、将f(z)=sinz按z的幂展成的幂级数为210(1)()(2n1)!nnnzz+¥=-+?+å5、幂级数20nnnz的收敛半径为R=1.6、设z|=1，则zz1=0.7、函数()2fzxyi的不解析点之集为整个复平面.8、若130zei--=，则z=,0,ln21,2,.2.3..ikkpp骣÷ç++÷ç÷ç=?桫±9、设2wcosiep=，则Im(w)=010、设34zi=+，则argz=4argtan3.二、选择题（每题4分，共20分）1、函数()fz在za点解析是()fz在za点附近能展成幂级数的（C）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件22、函数()(,)(,)fzuxyivxy在点000zxiy处连续的充要条件是（C）A、(,)uxy+(,)vxy在00(,)xy处连续B、(,)vxy在00(,)xy处连续C、(,)uxy和(,)vxy在00(,)xy处连续D、(,)uxy在00(,)xy处连续3、设C为不经过点与-1的正向简单闭曲线，则2(z1)(z1)czdz-+òÑ为(D).A、2ipB、2ip-C、0D、(A、B、C)都有可能4、设f(z)在单连通区域D内解析，L为D内一条简单闭曲线，则必有（D）A、2Im[f(z)]0Ldz=òB、2Re[f(z)]0Ldz=òC、2f(z)0Ldz=òD、2f(z)0Ldz=ò5、区域12z的边界是z=1，z=2，它们的正方向（B）A、z=1，z=2都是“逆时针”B、z=1“顺时针”，z=2“逆时针”C、z=1，z=2都是“顺时针”D、z=1“逆时针”，z=2“顺时针”三、计算题（每题6分，共30分）1、u(x,y)=yxy233，求函数v(x,y)，使u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。解：由C-R方程，xyvuyx6，2233yxvuxy2分由2233yxvx，得)(323yxyxv由xyvy6，)('6yxyvy4分y('）=0，所以y('）=C。Cxyxv2336分32、设C表示正向圆周223,xy+=2371()d,Cfzzxxxx++=-ò求(1).fi¢+解：根据柯西积分公式知，当z在C内时，2()2π(371)zfzixxx==?+22(371),izzp=++2分故()2(67),fzizp¢=+4分而1+i在C内，所以(1)2(613).fiip¢+=-+6分3、求6()sin()()PzzzfzQzz-==在0z=的留数解：3566sin13!5!zzzzzzzz轾骣-÷ç犏÷=--+-ç÷犏ç÷÷ç桫犏臌L31,3!5!zz--=-+L3分因此16sin1Res,0.5!zzcz-轾-犏==-犏臌6分4、将函数1[(2)]zz--在02z=的去心领域内展开成洛朗级数。解：在022z-内，1()(2)fzzz==-1122(2)zz×-+-3分11122212zz轾犏犏=?犏--犏+犏臌110(1)(2)2nnnnz¥-+=-=-å23112.2(2)22zz-=-++-L6分5、计算积分22222d(0,0,)()()xababxaxb+?-??++ò解：222221()()()Rzzazb=++在上半平面有二级极点,zai=一级极点.zbi=Res[(),]Rzai2221()()zaizaizb=¢轾犏=犏++臌2221,2()biab=-2分Res[(),]Rzbi2221()()zbizazbi==++2232223,4()baaiba-=-4分4所以22222d()()xxaxb+?-?++ò2π{Res[(),]Res[(),]}iRzbiRzai=[phone]()2()baiaibabibap轾-犏=+犏--犏臌32(2)π.2()ababab+=+6分四、证明题（10分）证明()d0(1),nczzna-=?òÑ其中C是任意闭曲线。证：（1）当n为正整数时，()nza-在z平面上解析，由柯西-古萨定理，()d0.nczza-=òÑ3分（2）当n为负整数但不等于-1时，()nza-在除点a的整个z平面上解析，情况一：若C不包围a点，()nza-在C围成的区域内解析，由由柯西-古萨定理，()d0.nczza-=òÑ6分情况二：若C包围a点，在C内部，以a为中心，r为半径作正向圆周，假设积分路径的参数方程为0(02π),izzreqq=+＃并假设n=-(m+1),则()dnczza-òÑ=101d()mCzzz+-òÑ=2π1(1)0dinimirereqqq++=ò2π0d,immierqq-=ò8分由于1n?，所以0m¹。当0m¹时，101d()mCzzz+-òÑ=2π0(cossin)dmimimrqqq=-ò0;=所以()d0.nczza-=òÑ10分