《线性代数》参考答案

1一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．A2．A;3．D;4．D;5.A;6．C;7．D;8．C．9.D;10.A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11，21)(nn;12．35;13．An;14．A;15．1716213213012;16．.91；17.1;18.1;19.1123324411233442,aaaaaaaa.20.1;三、证明题（本大题共2小题，每小题15分，共计30分）21、1234123411111111,,,,,,11111111…………………2分111111110,11111111PPP设可逆…………………2分112341234,,,,,,P,12341234,,,,,,,即可由线性表示…………………2分12341234,,,,,,.向量组与等价…………………2分1234,,,,由等价的向量组秩相等所以线性无关.………2分22.证明：记||nDA，下面用数学归纳法证明(1)nnDna．当1n时，12Da，结论成立(1分)．当2n时，2222132aDaaa，结论成立（2分）．假设结论对小于n的情况成立．将nD按第1行展开得22212102121212nnaaaaDaDaa（3分）21221222(1)(1)nnnnnaDaDanaanana（3分）故||(1)nAna（1分）.四、解答题（共30分）23.解：21111111B22)1)(1()2)(1(00)1(11011~r……………………………2分(1)要使方程组有唯一解必须R(A)3因此当1且2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解必须R(A)R(B)故(1)(2)0(1)(1)20因此2时方程组无解…………………………………………………2分(3)要使方程组有有无穷多个解必须R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20因此当1时方程组有无穷多个解.这时原来方程组等价于1231xxx，所以原方程通解为12123111100010xxccx，12,cc为常数。………………………4分.243（第1小题5分，第2小题5分）。选做题1、(1)因为)1()1)(()()1)(()()1)(()(分分分分2RRRRRARTTTT，所以2)(AR。(2)由于,线性相关，不妨设k（2分）.于是)1()()()1)(()()(分分2112RRkRRARTTTT，即2)(AR（3分）。2.解：(1)(1)(1)(1)nxnaxnaxnaxnaaxaaDaaxaaaaax1111((1))axaaxnaaaxaaaaax11110((1))000000xaaaxnaxaaxa1))()1((naxanx