《微型计算机控制技术》于海生第5章

第⑤章现代控制技术在现代理论中，用状态空间模型来设计和分析多输入多输出系统，便于计算机求解，同时也为多变量系统的分析研究提供了有力的工具。在状态空间分析方法中，用三种变量来描述一个系统：即输入变量、状态变量、输出变量。状态方程和输出方程在状态空间分析方法中，用三种变量来描述一个系统：即输入变量、状态变量、输出变量。连续系统的状态方程通常用一阶微分方程组表示输出方程的一般形式为离散系统的状态方程通常用一阶差分方程组表示输出方程的一般形式为)0(];),(),([)1(xkkkfkuxx]),(),([)(kkkgkuxy]),(),([)(tttgtuxy)(];),(),([)(0txtttftxux在状态空间分析方法中，用三种变量来描述一个系统：即输入变量、状态变量、输出变量。连续系统的状态方程通常用一阶微分方程组表示)();()()(0txtBtAtuxx)()()(tDtCtuxy)()(tCtxy连续状态方程的离散化tt)τt(0)tt(00dτ)τ(e)t(ex(t)BuxAATkkTTkTAATBudexex)1()()()()1(kkk)()()()()1(kkkkkCxyGuFxxTAATBdeGeF0,eA(t-t0)是被控对象的状态转移矩阵，x(t0)是初始状态向量。被控对象的前面有零阶保持器u(t)=u(k),kTt(k+1)T令t0=kT,t=(k+1)T采用状态空间的极点配置设计法在计算机控制系统中，除了使用输出反馈控制外，还较多地使用状态反馈控制，因为由状态输入就可以完全地确定系统的未来行为。简化的离散系统结构图计算机控制系统的典型结构Tr(k)y(k)y(t)u(k)u(t)控制器零阶保持器被控对象r(k)y(k)u(k)控制器被控对象调节系统(r(k)=0)中控制器的结构Ty(t)u(t)Tu(k)x(k)y(k)控制器零阶保持器被控对象观测器控制规律^5．2．1按极点配置设计控制规律设连续系统的状态方程)();()()(0txtBtAtuxx)()(tCtxy)()()()()1(kkkkkCxyGuFxxTAATBdeGeF0,离散化为其中)()(kkLxu设计出反馈控制规律L，以使闭环系统具有所需要的极点配置。)()()1(kkxGLFx反馈控制规律L闭环系统状态方程闭环系统特征方程0GLFIz)()()()()()k()1k(kxGLFkGLxkFxkGuFxxGLF可理解为引入状态反馈情况下的新的状态转移矩阵0)())(()(21nzzzzzzz设给定所需要的闭环系统的极点为zi(i=1,2,…,n),则闭环系统特征方程为反馈控制规律L应满足方程|zI-F+GL|=β(z)对于任意的极点配置，L具有唯一解的充分必要条件是被控对象完全能控。将上式的行列式展开，比较两边Z的同次幂的系数。对于单输入的情况，L中未知元素的个数与方程的个数相等，因此一般可获得L的唯一解。rank[GFG…Fn-1G]=n人们对于S平面中的极点分布与系统性能的关系比较熟悉，首先根据相应连续系统性能指标的要求来给定S平面中的极点，然后再根据zi=eSiT(i=1,2,…,n)的关系求得Z平面中的极点分布，T为采样周期。[例5.2]被控对象的传递函数G(s)=1/s2,采样周期T=0.1s,采用零阶保持器。现要求闭环系统的动态响应相当于阻尼系数为ξ=0.5,无阻尼自然振荡频率ωn=3.6的二阶连续系统，用极点配置方法设计状态反馈控制规律L，并求u(k)。〔解〕被控对象的微分方为,定义两个状态变量分别为得到，有对应的离散状态方程为代入T=0.1s∴系统能控根据要求，S平面上两个期望的极点为Z平面上的两个期望的极点为期望的闭环系统特征方程为状态转移矩阵F和控制矩阵G为状态反馈控制规律为闭环系统的特征方程为得状态反馈控制规律L5．2．2按极点配置设计状态观测器设计状态观测器，根据所量测的输出y(k)和u(k)重构全部状态。因为有些状态无法量测。常用的状态观测器有三种：预报观测器，现时观测器和降阶观测器。常用的观测器方程为)()()()()1(kxykkkxCKGuxFx利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。1．预报观测器设计观测器的关键在于如何合理地选择观测器的增益矩阵K预报观测器)()()()()1(kxykkkxCKGuxFx定义状态重构误差如果选择K使系统渐近稳定，那么重构误差必定会收敛到零，即使原系统是不稳定的，在重构中引入观测量反馈，也能使误差趋于零。上式称为观测器的误差动态方程，可以通过选择K，使状态重构误差动态方程的极点配置在期望的位置上。如果出现观测器期望的极点Zi(i=1,2,…,n),那么求得观测器期望的特征方程观测器的特征方程计算求得期望的状态重构性能2．现时观测器)1(xC)1(yK)1(x)1(x)(Gu)(xF)1(xkkkkkkk状态重构误差)1()1()1()]()([)1()1()1(~kkkkkkkkxCCxKxGuFxxxx)k(~xKCFF0zKCFFI现时观测器状态重构误差的特征方程采用预报观测器时，现时的状态重构只用了前一时刻的输出量y(k-1)，使得现时的控制信号u(k)中也包含了前一时刻的输出量。当采样周期较长时，这种控制方式将影响系统的性能。为此，可采用如下的观测器方程为了获得期望的状态重构性能，由下式确定K的值0z)(KCFFIz3．降阶观测器所能量测到的y(k)中，已直接给出了一部分状态变量，这部分状态变量不必通过估计获得。只要估计其余的状态变量就可以了，这种阶数低于全阶的观测器称为降阶观测器。将原状态向量分成两部分)()()(kkkbaxxx)()()()1()1(kbakkkkuGGxxFFFFxxbabbbaabaaba)()()()1()()()()1(kkakkkbkkkbabaaaaababbbbxFuGxFxuGxFxFxxa(k)能量测的部分状态，xb(k)需要重构的部分状态分块写成abaaaaababbbFuGxFxuGxFFxCGuFx)k(a)k()1k()k(b)k()x()k(y)k()k()(xF)(uG)(xF)1(xK)(uG)(xF)(xF)1(xbabaaaaababbbbkkakkkbkkk)()()()1()1()1(~kkkkkbbabbbbbbxxKFFxxx)()(~kbabbbxKFF0zabbbKFFI建立如下的对应关系观测器方程状态重构误差降阶观测器状态重构误差的特征方程为了获得期望的状态重构性能，由下式确定K的值)()()()()(ttytttCxBuAxx0010A10B(1)设计预报观测器，并将观测器特征方程的两个极点配置在z1,2=0.2处。(2)设计现时预测器，并将观测器特征方程的两个极点配置在z1,2=0.2处。(3)假定x1是能够量测的状态，x2是需要估计的状态，设计降阶观测器，并将观测器特征方程的极点配置在z1=0.2处。[例5.3]设被控对象的连续状态方程为采样周其为T=0.1s，要求确定K。[解]将上式离散化，得离散状态方程(1)由已知条件01C解得：(2)由已知条件解得：(3)由已知条件解得：5.2.3按极点配置设计控制器1．控制器的组成按极点配置设计的控制规律和状态观测器，这两部分组成了状态反馈控制器.)()()()()()()1(kkukykukkxLkxCKGxFx2．分离性原理)()()()1()()()1(kkkkkkxKCGLFKCxxxGLFxx)()()1()1(kkkkxxKCGLFKCGLFxxKCGLFIGLFIGLGLFIKCGLFIKCGLFIKCGLFKCGLFIzzzzzz)z(KCFIGLFIKCFIGLGLFIzzzz00)()(zz闭环系统的特征主程闭环系统的2n个极点由两部分组成：一部分是按状态反馈控制规律设计所给定的n个控制极点；另一部分是按状态观测器设计所给定的n个观测器极点，这就是“分离性原理”。根据这一原理，可以分别设计系统的控制规律和观测器，从而简明化了控制器的设计。(1)(2)按极点配置设计状态反馈控制规律，计算L(3)合理地给定观测器的极点，并选择观测器的类型，计算观测器增益矩阵K(4)根据所设计的控制规律和观测器，由计算机来实现。3．状态反馈控制器的设计步骤控制极点是按闭环系统的性能要求来设置的，控制极点成为整个系统的主导极点。观测器极点的设置应使状态重构具有较快的跟踪速度。如果量测输出中无大的误差或噪声，则可考虑观测器极点都设置在Z平面的原点。如果量测输出中含有较大的误差或噪声，则可考虑按观测器极点所对应的衰减速度比控制极点对应的衰减速度快约4或5倍的要求来设置。观测器的类型选择应考虑以下两点：(1)如果控制器的计算延时与采样周期处于同一数量级，则可考虑选用预报观测器，否则可用现时观测器；(2)如果量测输出比较准确，而且它是系统的一个状态，则可考虑用降阶观测器，否则用全阶观测器。4．观测器及观测器类型选择[例5.4]在[例5.2]中的系统的离散状态方程为并知系统是能控的。系统的输出方程为系统的采样周期为0.1s，试设计状态反馈控制器，以使控制极点配置在z1=0.6,z2=0.8,使观测器的极点配置在0.9±j0.1处。解:由[例5.2]和[例5.3]中知系统是能控和能观的。根据分离性原理，系统控制器设计可按以下进行。(1)设计控制规律求对应控制极点z1=0.6,z2=0.8的特征方程解得：(2)设计预报观测器求对应观测器极点0.9±j0.1的特征方程由解得：(3)设计控制器系统的状态反馈控制器为5．2．4跟踪系统设计5．3采用状态空间的最优化设计法5．3．1LQ最优控制器设计NTTTTuQuxQxxQx0210)()()()()()(dtttttNTNTJ)()(tkLxu1．问题的描述2．二次型性能指标函数的离散化1021210)()()()(2)()()()(NkTTTTuQuuQxxQxxQxkkkkkkNNJ其中TAttAQQT011dteeBdtdeeTtAtAQQT00112)(TQBQBQTtAtATT200102)()(dtdede3．最优控制规律计算)()()(kkkxLuTTTQFSGGSGQL1212)1()1()(kkk)()()()()()1()()(121212kkkkkkkkLQQLQLQLGLFSGLFSTTTT0)(QSN5．3．2状态最优估计器设计1．连续被控对象的状态方程的离散化2．Kalman滤波公式的推导3．Kalman滤波增益矩阵的计算5．3．3LQG最优控制器设计5．3．4跟踪系统的设计