《新编基础物理学》第5章习题解答和分析

第5章机械振动第5章机械振动5-1有一弹簧振子，振幅22.010mA，周期1.0sT，初相34.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。分析根据振动的标准形式可得到振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。解：振动方程为2cos()cos()xAtAtT代入有关数据得30.02cos(2)(m)4xt振子的速度和加速度分别是1d30.04sin(2)(ms)d4xttv2222d30.08cos(2)(ms)d4xatt5-2一弹簧振子的质量为0.500kg，当以35.0cm的振幅振动时，振子每0.500s重复一次运动.求振子的振动周期T、频率ν、角频率ω、弹簧的倔强系数k、物体运动的最大速率maxv、和弹簧给物体的最大作用力maxF.分析：最大速率maxAv,2maxaA，maxmaxFma，2v，1vT，所以只要求出周期T即可.解：由题意可知0.500sT；所以频率1/2.00HzvT；角频率12=4=12.6(rads)v；倔强系数2210.50012.679.4(Nm)km；最大速率10.3512.64.41(ms)maxAv最大作用力220.5000.3512.627.8(N)maxmaxFmamA5-3质量为2kg的质点，按方程0.2cos(5)(m)6xt沿着x轴振动.求：第5章机械振动（1）0t时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析根据振动的动力学特征和已知的简谐运动方程求解，位移最大时受力最大。解：（1）跟据牛顿第二定律222ddxfmmxt，0.2cos(5)(m)6xt将0t代入上式中，得：5.0Nf（2）由xmf2可知，当0.2mxA时，质点受力最大，为10.0Nf5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d（从最高水平到最低水平）做简谐运动，周期为12.5h.求水从最高处下降了d/4高度需要多少时间？分析：由旋转矢量法即可求解.解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见/4arccos()/23dd/312.52.08(h)2/2tT5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅22.010mA，周期0.5sT，当0t时，则：（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在21.010mx处，向负方向运动；（4）物体在21.010mx处，向负方向运动.求以上各种情况的振动方程。分析根据旋转矢量图，由位移和速度可以确定初相位。进而得出各种情况的振动方程。解：设所求振动方程为2cos()0.02cos(4)xAttT由旋转矢量图解图5-5可求出初相位3/2,3/,2/,04321（1）0.02cos4(m)xt解图5-5解图5-4第5章机械振动（2）0.02cos(4)(m)2xt（3）0.02cos(4)(m)3xt（4）20.02cos(4)(m)3xt5-6在一轻弹簧下端悬挂0100gm砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂250gm的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的121cms的初速度（令这时0t）.选x轴向下为正，求振动方程.分析在平衡位置为原点建立坐标轴，由初始条件得出特征参量。解：弹簧的劲度系数lgmk/0该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为cos()xAt角频率为mk/代入数据后求得17rads以平衡位置为原点建立坐标，则1000.04m,0.21msxv由2200(/)Axv得0.05mA据Ax01cos得0.64rad由于00v,应取0.64rad，于是，所求方程为0.05cos(70.64)(m)xt5-7某质点振动的x-t曲线如题图5-7所示.求：（1）质点的振动方程；（2）质点从0t的位置到达P点相应位置所需的最短时间.分析由旋转矢量可以得出初相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确第5章机械振动定最短时间。00001cos()0,/2,031s,325650.1cos()(m)6320xAttxAttxtP解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（）点的相位为v0500.4s630.4sppptttP即质点到达点相应状态所要的最短时间为5-8有一弹簧，当下面挂一质量为m的物体时，伸长量为29.810m.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.（1）当0t时，物体在平衡位置上方28.010m，由静止开始向下运动，求振动方程.(2)当0t时，物体在平衡位置并以10.6ms的速度向上运动，求振动方程.分析根据初始条件求出特征量建立振动方程。解：设所求振动方程为)cos(tAx其中角频率lgmlmgmk//，代入数据得110rads（1）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有000.08m,0xv据2200(/)Axv得0.08mA据Ax01cos得，由于0v＝0，不妨取于是，所求方程为10.08cos(10)(m)xt题图5-7第5章机械振动（2）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有1000,0.6msxv据2200(/)Axv得0.06mA据Ax01cos得2，由于00v，应取2，于是，所求方程为20.06cos(10)(m)2xt5-9一质点沿x轴做简谐运动，振动方程为2410cos(2)(m)3xt，求：从0t时刻起到质点位置在2cmx处，且向x轴正方向运动时的最短时间.分析由旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。解:依题意有旋转矢量图（解图5-9），从图中可得到而02(0)tt故所求时间为01s2t5-10两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.分析由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定初相位。解：由于2/10Ax、100v可求得4/1由于2/20Ax、200v可求得4/2如解图5-10所示，相位差12/2解图5-10解图5-9第5章机械振动5-11一简谐运动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.分析利用旋转矢量图求解，由解图5-11中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。解：设所求方程为)cos(tAx当0t时，115cm,0xv由A旋转矢量图可得23当2st时，从x-t图中可以看出220,0xv据旋转矢量图可以看出232t所以，2秒内相位的改变量20325236tt据t可求出15rads12t于是，所求振动方程为520.1cos()(m)123xt5-12在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,物体的质量为m,振幅为A.当物体通过平衡位置时,有一质量为'm的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）'m和m粘结后,系统的振动周期和振幅;（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅.分析系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为v,则由机械能守恒221122kAmv得kAmv当'm竖直落在处于平衡位置m上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以题图5-11解图5-11第5章机械振动(')'mmmumummvv此后,系统的振幅变为'A,由机械能守恒,有2211(')22'''kAmmummmAuAkmm系统振动的周期为'2mmTk（2）当m在最大位移处'm竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为'2mmTk.5-13设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期.分析圆环为一刚体，可由转动定律求解。解:如解图5-13所示,转轴O在环上,设角度以逆时针为正,则振动方程为22dsindJmgRt当环作微小摆动sin时,得22d0dmgRtJ设mgRJ得222d0dt因为22JmR，所以222RTg解图5-13第5章机械振动5-14一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm．现把质量为4kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时．(1)求物体的振动方程；(2)求物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间．分析小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。解：如解图5-14所示，选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。由fkx得1200Nmfkx1/507.07radskm(1)由题意可知10cm,0A所以振动方程0.1cos(7.07)(m)xt(2)物体在平衡位置上方5cm时，弹簧对物体的拉力()fmga而222.5msax所以29.2Nf(3)因为0t时刻的初相位0，所以物体从第一次越过平衡位置时，对应的相位为12物体在平衡位置上方5cm处，此时5cmx，即25cos,A因为此时物体向上运动，0v，所以223由t得2320.074(s)7.07tx5cmO解图5－14第5章机械振动5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物.现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为0.50s，振幅为22.010m，求：（1）平板到最低点时，重物对板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？分析重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。解：重物与平板一起在竖直方向上做简谐运动，向下为正建立坐标，振动方程为)4cos(02.0tx设平板对重物的作用力为N，于是重物在运动中所受合力为fmgNma，而2ax跟据牛顿第三定律，重物对平板的作用力'N为)('2xgmNN（1）在最低点处：Ax,由上式得'12.96NN（2）频率不变时，设振幅变为'A,在最高点处（'Ax）重物与平板间作用力最小，设0'N可得2'/0.062mAg（3）振幅不变时，设频率变为'，在最高点处（'Ax）重物与平板间作用力最小，设0'N可得1''/2/3.52Hz2gA5-16一物体沿x轴做简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向x轴正方向运动，求：（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从0.03mx处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？分析通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。解：设该物体的振动方程为)cos(tAx依题意知12/(rads),0