《机械优化设计方法》第3章一维搜索的优化方法(上课课件)

主讲教师：张彩丽机械设计制造及其自动化第3章一维搜索的优化方法第3章一维搜索的优化方法3.1搜索区间的确定与区间消去法原理3.2黄金分割法（试探法）3.3插值法第3章一维搜索的优化方法什么是一维搜索的优化方法？一维优化方法是优化方法中最基本的方法。为什么这样说呢？1kkkkXXS)()()(1kkkkkdXfXf一维优化一般分为2步：（1）确定最优解所在的搜索区间[a,b];（2）在搜索区间[a,b]内寻求极小点。3.1搜索区间的确定与区间消去法原理3.1搜索区间的确定与区间消去法原理3.1.1搜索区间的确定采用的是进退法。基本思路是：假设一元函数具有单峰性，从某一个给定的初始值出发，以初始步长沿着目标函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到3个相继的试点其函数值按“大—小—大”变化为止。3.1搜索区间的确定与区间消去法原理进退法确定搜索区间的步骤如下：（1）给定初始点和初始步长；（2）计算得两点，并计算它们的函数值；（3）比较两点的函数值，存在两种情况：3.1搜索区间的确定与区间消去法原理3.1搜索区间的确定与区间消去法原理3.1.2区间消去法原理原理如下：假定在[a,b]内取2点a1，b1，且a1b1，并计算函数值。于是:)()(11bfaf)()(11bfaf3.1搜索区间的确定与区间消去法原理3.1.3一维搜索方法的分类试探法：是按某种给定规律确定区间内扦入点的位置。只考虑如何加快区间缩短。扦值法或函数逼近法。是根据某些点处的某些信息，构造一个扦值函数来逼近原函数，用扦值函数的极小点作为区间的扦入点。3.2黄金分割法（试探法）3.2.1黄金分割法的基本思想——建立在区间消去法原理基础上的方法。在[a,b]内扦入两点，将区间分成三段；应用函数的单峰性及函数值比较，删去其中一段使区间缩短；在保留下来的区间上作同样处理，迭代下去，从而得到极小点的数值近似解。3.2黄金分割法（试探法）3.2.1黄金分割法的基本思想黄金分割法实施时有2点要求：扦入点的位置相对于区间端点具有对称性在保留下来的区间内再扦入一点形成区间新三段，与原区间三段具有相同的比例。12(1)()()abaaba3.2.1黄金分割法的基本思想222110421141522bbaca618.02153.2.2黄金分割法的具体搜索步骤（1）给出初始[a,b]及ε。（2）根据公式（3）缩短搜索区间；3.2黄金分割法（试探法）1112220.382()0.618()ffabaabaff（4）检查区间是否缩短到足够小，如条件不满足则返回到（2）。（5）如果条件满足，则取区间中点作为极小点的数值近似解。3.2黄金分割法（试探法）3.2黄金分割法（试探法）3.2.3举例用黄金分割法求的最优解。设初始点，初始步长h=1,取迭代精度ε=0.35。107)(2f00解：首先用进退法确定搜索区间101121220,()101,()4ffhff32332,()0hff3.2.3举例121223233233212,1,42,04,()2hffffhff1212232332332242,04,28,()18hffffhff初始搜索区间[a,b]=[2,8]。3.2.3举例1112220.382()4.292,()1.6227360.618()5.708,()2.625264abaffabaff221211115.708,2,5.7084.292,1.6227360.382()3.416456,()2.243020babffabaff5.70823.708ba在给定区间内按黄金分割法进行求解：3.2.3举例3.597053.2863280.310722ba***(ba)23.441689,()2.2466ff3.3插值法3.3.1二次扦值法的基本原理3.3插值法123112233,:,0.5,,,abaabbffffff123fff111222333,,,,,PPfPPfPPf2012()Paaa3.3.1二次扦值法的基本原理*1122'()202paPaaa210112112201222223013233222222*23131212312231312123()()()()()()1[]22()()()pPaaafPaaafPaaaffffaafff312121*11321123123())),05(.(pffffCCCCC3.3.2二次扦值法的迭代过程与程序框图1、迭代过程3.3插值法123112233111222333**14442(1),,(2),0.5,,,,,,,,(3),2ppabaabbffffffPPfPPfPPfaffa3.3.2二次扦值法的迭代过程与程序框图（4）缩短搜索区间。（5）判断是否满足精度要求。3.3.2二次扦值法的迭代过程与程序框图2、二次扦值法的程序框图3.3.3实例3.3插值法例：用二次扦值法求f(α)=α2-7α+10的最优解，已知初始区间为[2,8]，取终止迭代点距精度ε=0.01。解：（1）确定初始插值结点1113332222()08()185()02affbffabff（2）计算插值函数极小点3.3.3实例2113121123123413124441343,100.5()3.5()2.25()()6.750ffCffCCCCff（3）缩短搜索区间323242115,03.5,2.252,0fff124441340,103.5,2.25()()2.250CCf（4）判断迭代终止条件3.3.3实例423.53.50**443.5,()2.25ff对于二次函数用二次插值法求优，只需一次插值计算即可；对于非二次函数，随着区间的缩短使函数的二次性态加强，收敛也是较快的。作业1、用黄金分割法求解以下问题30min6,0,0.3,0.5fxxxxh2、用二次插值法求解下列问题320min39,0,0.3,0.15fxxxxxh