P1-19_讲稿

-1-群论及其在固体物理中的应用-2-第一章群的基本概念§1.1群定义：数学对象（群元）的集合{A、B、C、…}，其中有一个与次序有关的运算（群乘）AB=C，若满足下列四个条件，该集合称为群（group，记作G）.（1）封闭性（2）结合律成立：A(BC)=(AB)C（3）单位元存在：EA=AE=A（4）逆元存在：A-1A=AA-1=E群元的数目称为群的阶，记作g.若群乘满足交换律，称作交换群或阿贝尔群。群的分类群阶g：有限群无限群（离散的无限群、连续群）物理学中：固体群、李群若干具体的群举例群元特征：1.普通的数2.方矩阵3.对称操作-3-4.置换群，等等。2.方矩阵群（1）全部n×n矩阵（群乘为矩阵乘法）nnnjjnninijjiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaaA)1(1)1(1)1()1()1)(1(1)1(11)1(111不构成群。detA=0的矩阵（降秩方阵或称奇异方阵）不存在逆矩阵：nnnnnjijjnAAAAAAAAAAA211121111det1其中ijA是行列式中元素ija的代数余子式-4-nnjnjnnnijijiinijijiinjjjiijaaaaaaaaaaaaaaaaA)1()1(1)1()1)(1()1)(1(1)1()1()1)(1()1)(1(1)1(1)1(1)1(111)1(（2）0detA的全部n×n矩阵构成群；1detA的全部n×n矩阵构成群；1detA的全部n×n矩阵构成群；1detA的全部n×n矩阵不构成群。-5-（3）d3群（g=6，1detA）100010001E100001010A010100001B001010100C010001100D001100010Fd3群的群表（右因子）（左因子）DEACBFEFBACDBAEFDCACDEFBCBFDEAFDCBAEFDCBAEFDCBAE作业1：计算d3群各群元的逆元。作业2：验证d3群的群表第2列。-6-（4）6个2×2矩阵构成一个群1001E1001A21232321B21232321C21232321D21232321F注意：（一）该6阶2×2矩阵群的群表与d3群的群表相同；称为两个群同构。作业3：做出6阶2×2矩阵群的群表第2列。（二）如果与转动相联系，绕z轴转动θ角的坐标变换矩阵为cossinsincos)(R则D对应于绕z轴顺时针转动1200角，即0120.F对应于绕z轴逆时针转动1200角，即0120.-7-3.对称操作群群元：对称操作；群乘：连续操作。（1）轴转动群Cn（转角n2、n度轴）轴转动群C1、C2、C3、C4、C6等（循环群）。轴转动群C∞是无限的阿贝尔群。（2）正三角形的对称操作群D3群和C3v群D3群与d3群同构。作业4：验证D3群的群表（表1.2）第2列。作业5：验证C3v群的群表（表1.3）第2列。（3）正方形群C4v群D4群4．置换群（排列群）Pn-8-重排列定理：一个群的全部元，在群表中的每一行和每一列都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。DEACBFEFBACDBAEFDCACDEFBCBFDEAFDCBAEFDCBAEFDCBAE3个低阶群的群表G={E,A}G={E,A,B}G={E,A,B,C}群元的阶α群元自乘若干次之后必等于单位元。生成元（生群元）一个群的最小的群元集合，经群乘可以构造出这个群。-9-§1.2子群和陪集子群子群的封闭性表示为：SS=S平庸子群和真子群。陪集1、定义右陪集SX，左陪集XS。其中SX。2、定理（1）—（6）子群阶定理：g=s×i群元的阶也是g的整数因子。可以将群G按子群S的陪集来分解G=S+SA2+SA3+…+SAi（1.2-4）