T数列极限教学中难点的处理与突破

1T数列极限教学中难点的处理与突破董希智①郭运瑞②（①河南省辉县市第一高级中学，辉县市453600；②河南科技学院，新乡市453003）摘要：在数列极限的教学中，如何引导学生从数列极限的“描述性”定义向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“N”语言转化.历来被认为是极限教学的重点和难点.本文运用建构主义理论，结合自己的教学实践谈谈突破教学难点的思路和方法.关键词：数列极限；建构主义；数学思想方法；描述性；精确性我们知道，高等数学是用极限的理论和方法研究函数的，极限是它的武器和工具,极限的思想方法贯穿高等数学的始末.高等数学又是一门非常重要的基础课，它是学生学习许多后续课程（如普通物理、常微分方程、复变函数等）的基础.但要学好高等数学，必须首先学好极限,而极限概念是一个群体，各概念之间有着紧密的逻辑联系，数列极限又是极限理论的基础，因而更显得数列极限尤为重要.这就为教师提出了一个重要任务：必须尽一切努力教好数列极限这一课！那么，怎样教数列极限，才能使学生真正了解它的直观背景，掌握它的精神实质，理解它的思想方法，熟悉它的实际应用，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列极限的“描述性”定义向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“N”语言转化.这一教学重点和难点必须从教和学两个方面突破.建构主义提倡在教师指导下，以学习者为中心的学习.也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，两者相得益彰、和谐发展，为突破难点提供了有力的支撑.建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”作为学习环境的四大要素.为突破数列极限的教学难点，笔者通过多媒体课件演示模型精心设计了“问题环境”，再通过师生之间的“会话”、“协作”，逐步完成学生的“意义建构”.一、以模型驱动思维，引导学生认识“无限”我们可先从《庄子.天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中，使学生初步认识“无限”.然后利用多媒体课件演示“无限”的数学模型，引导学生辩证的认识“无限”.模型（课件演示）我国古代（公元3世纪）数学家刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”意思是：圆内接正多边形的边数越多，正多边形的周长与圆的周长误差就越少，正多边形的边数再增加，一直到正多边形的边不能再分割时，则正多边形的周长就是圆的周长.首先，这句话的要点在于“割之又割”，没有“割之又割”，就没有“以至于不可割”，也就没有了“合体”之说.因而我们说“割之又割”是一种变化过程，是一种没完没了的变化过程，即“无限”变化过程，所以“无限”实质上是一种永不停止的变化过程.其次，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是思维上的一种认识，是思维上的一种飞跃—辩证思维.“不可割”是思维上的不可割，2是思维上的一个“终结”，不是实际上的，实际上永远达不到“不可割”.有了这种思维认识就顺理成章地有了“合体”之说.永不停止的“无限”变化过程，有时也有一个“终结”，而这个“终结”不是实质上的“终结”，而是一种变化趋势.二、以具体数列深化思维，引导学生形成“描述性定义”1.多媒体演示以下数列，描绘数列的图象（1）21，41，81，…，n21，…（2）2，23，34，…，nn1，…（3）2，21，34，…，nnn1)1(，…（4）1，1，1，…，1)1(n，…（多媒体课件动感表示）将这四个数列直观表示在直角坐标中，描绘出每个数列的图形(略).2.通过观察引出“描述性”定义让学生观察分析数列的图形后不难发现：当项数n无限增大时，数列（1）的一般项n21无限接近于常数0；数列（2）的一般项nn1无限接近于常数1；数列（3）的一般项nnn1)1(无限接近于常数1；而数列（4）的一般项nx在1与-1之间摆动，不趋向于某一个确定的常数.教师：当项数无限增大时，如果数列的一般项能无限接近于一个常数，则称这个常数为数列的极限.这就是数列极限的“描述性”定义.板书:“当项数n无限增大时，无穷数列nx的一般项nx无限接近于一个常数a，则称常数a为数列的极限”.三、“N”精确化定义的形成和概括过程1.在“会话”、“协作”中让学生主动构建知识用《几何画板》考察数列（2）的图像，学生可亲自参与，用鼠标拖动图形中标注的拖动点，观察数列的一般项随n变化的过程，反复实践，反复体验何谓“趋向于”.在此基础上，老师与学生进行“会话”、“协作”共同再认识“描述性”定义：“当项数n无限增大时，无穷数列nx的一般项nx无限接近于一个常数a，则称常数a为数列的极限”.为“描述性”定义向“精确化”定义过渡作准备.为了更简明、更清晰地展示“会话”、“协作”的过程，笔者撷取了一段课堂实录：老师：让我们考察数列（2）的图像，当项数n无限增大时，其一般项nx＝nn1是否趋向于某一常数？几乎全体学生：是！趋向于1.3老师：噢！大家都认为随n无限增大时，一般项nn1将趋向于1.但何谓“趋向于1”呢？学生A：就是无限接近于1.老师：什么叫“无限接近”？（众笑）学生B：（经过片刻思考）就是随着n越来越大，nx与1的差越来越小.学生B：（受启发后继续补充）也就是nx与1的距离1nx越来越小.老师：距离比0.1小行吗？学生C：行！只要n＞10即可.老师打开《几何画板》考察数列（2）的图像，故意给出n＝1，2，3，4，图像并不在（0.9，1.1）之间.老师：数列（2）中的各项并不在（0.9，1.1）内，并不靠近1呀？学生D：（反驳）那是因为你给的n太小了.把n的范围设定在10到20之间，数列的相应项就都在（0.9，1.1）内了！老师通过《几何画板》用鼠标拖动图形中标注的拖动点，再演示把n的范围设定在10到20之间，屏幕上数列的相应项就都在（0.9，1.1）内了.老师：随着n继续增大，比如到了n＞20以后，数列的相应项会不会跑出（0.9，1.1）范围呢？老师通过《几何画板》再演示，同学们发现第20项以后数列的相应项都在（0.9，1.1）内.且相应的各项距离1越来越近了.继续演示到了n＞100以后，数列的相应项也都在（0.9，1.1）内，且相应的各项距离1越来越近了.老师：你们认为在（0.9，1.1）内，此数列有多少项？几乎所有学生：有无穷多项.老师：通过观察我们看到，要1nx＜0.1，只要n＞10即可.再给出要1nx＜0.01、0.001，让学生讨论多少项以后，这个数列的各项就能分别都在区间（0.99，1.01）、（0.999，1.001）内.学生经过积极的交流合作，很快得到分别是第100项、第1000项以后.老师一边与学生讨论，一边将讨论的结果板书：nx＝nn1，n，1nx当n＞10、n＞100、n＞1000、…有1nx＜0.1、1nx＜0.01、1nx＜0.001，…老师：我们用1nx来衡量nx与1之间的接近程度，1nx越小，nx就越接近1，如果1nx要多么小就多么小，可以任意小，小于预先给定的无论多么小的正数，即表示nx与1之间无限接近，就是1nx.那么n满足什么条件时，4就能使1nx＜？所有学生：（通过自己运演）得到1n时，就能使1nx＜.老师：因为n是数列的项数，应该是正整数.所以我们取正整数1N，于是当Nn时，恒有11nn＜成立.老师：你们通过了刚才的体验与实践，能不能用语言概括一下？我们只有把上述现象用数学形式加以概括，才能得到极限的精确描述.2.在交流协作中完成“N”精确化定义经过学生间的交流协作，在若干次的修改、补充、完善后，形成如下的表述：极限的“N”定义：0无论它多么小，正整数N，当Nn时的一切项nx，恒有axn＜.则称常数a是数列nx的极限，记作axnnlim或)(naxn用数学符号简述为：0，正整数N，当Nn，恒有axn＜axnnlim.四、“N”精确化定义的进一步分析至此，教师还须对“N”定义中的语言作进一步的解释，要指出：①与N的逻辑关系是先有后有N，关系不容颠倒.定义中的N是变化过程的界限，N由相应的来确定，越小，N越大，有时也记为)(N，但并不意味着N由唯一确定.因为取定后，N的选取并不唯一（老师可用上面的例子再作解释）.②是任意给定的正数，它具有两重性.一是它的任意性，因此它不是一个固定的常数，以保证axn要多么小就有多么小，它刻划nx无限接近于a的程度；二是它的相对固定性，一经取定，就相对固定了下来，以便根据它去求出N，但的本质是一个常量.③“对任意给定的正数”，“恒有axn＜”，表明数列nx的项nx与a要多么接近就多么接近，这表达了“无限接近”的确切意思；“正整数N，当Nn时的一切项nx”则说明上述无限接近的过程和条件与n无限增大的过程的具体联系.只要n在增大过程中达到某一个界限N时，Nn后就能保证axn＜都成立.④定义中并不是、也不需要数列nx的所有项nx均满足axn＜，而是当n5增大到一定程度时，比如Nn以后的所有项满足axn＜就可以了，至于N之前的有限个项是否满足axn＜并不影响常数a是数列nx的极限.五、从理性认识又回到感性认识，对定义作几何解释若axnnlim，也就是：0无论它多么小，正整数N，当Nn时的一切项nx，恒有axn＜.对这个任意给定的无论多么小的正数，我们都能以常数a为中心作出一个a的邻域（a-，a+），（老师边说边作出图，此处略）.我们可根据来确定N，当Nn以后的所有项nx全部落在邻域（a-，a+）内，在邻域之外只有有限项1x，2x，…，Nx.也可以形象地说成是无论正数多么小，数列nx的“尾巴”全部进入到邻域（a-，a+）内.又由于可以任意小，所以邻域（a-，a+）可以任意地小，即数列nx中几乎所有的点全聚集在a的附近，可见数列极限的“N”定义精确地描述了“当项数n无限增大时，无穷数列nx的一般项nx无限接近于一个常数a”的这种变化趋势.至此，数列极限的定义已全部讲完，同学们对数列的极限已经有了一个明确的并且直观的认识，下面我们可以用极限的“N”定义来证明数列的极限.六、用极限的“N”定义来证明数列的极限要证axnnlim.任意给定了＞0之后，问题的关键是有没有这样的一项Nx，即是否可以找到自然数N，使得当Nn时，就有axn＜都成立？所以问题就转化为根据去找N.也就是说，从不等式axn＜出发，倒推回去，去推出不等式)(hn，这样的)(h就可以去作我们要找的N了.例1证明1)1(limnnnn.证因1)1(nnn＝n1，对任意给定的无论多么小的＞0，要使1)1(nnn＜，就是n1＜，解不等式得到1n，取正整数1N，于是当Nn时，恒有11nn＜成立，即1)1(limnnnn.6例2证明0)1()1(lim2nnn证因0)1()1(2nn2)1(1n＜11n＜n1，所以对任意给定的无论多么小的正数，要使0)1()1(2nn＜，只要n1＜，解不等式得到1n，取正整数1N，于是当Nn时，恒有0)1()1(2nn＜，即0)1()1(lim2nnn.需要说明的是：对于给定的，能够说明N确实存在即可，没有必要求出最小的N是什么.因此，为了求解方便，我们总是把不等式axn作适当的放大，利用放大之后的式子小于，解不等式得到N.还可以再举几个证明极限的例子，本次课就可以结束了.（下边的内容教师可根据具体情况而定，充分体现因材施教的原则）七、从反面理解数列的极限定义在讲授了数列极限的“N”定义之后，还要指出的axnnlim的“N”定义，这样既可以加深对数列极限本质的认识，又可以锻炼学生的抽象思维能力，