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函数概念(一)知识梳理1.映射的概念设BA、是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为BAf:,f表示对应法则注意:⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。2.函数的概念(1)函数的定义:设BA、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为Axxfy),((2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做)(xfy的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。4.分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。(二)考点分析考点1:映射的概念例1.(1)AR,{|0}Byy,:||fxyx;(2)*{|2,}AxxxN,|0,ByyyN,2:22fxyxx;(3){|0}Axx,{|}ByyR,:fxyx.上述三个对应(2)是A到B的映射.例2.若}4,3,2,1{A,},,{cbaB,,,abcR,则A到B的映射有81个,B到A的映射有64个,A到B的函数有81个例3.设集合{1,0,1}M,{2,1,0,1,2}N,如果从M到N的映射f满足条件:对M中的每个元素x与2它在N中的象()fx的和都为奇数,则映射f的个数是()()A8个()B12个()C16个()D18个考点2:判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1)2)(xxf,33)(xxg;(2)xxxf)(,;01,01)(xxxg(3)1212)(nnxxf,1212)()(nnxxg(n∈N*);(4)xxf)(1x,xxxg2)(;(5)12)(2xxxf,12)(2tttg考点3:求函数解析式方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;(2)若已知复合函数)]([xgf的解析式,则可用换元法或配凑法;(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf,求)(xf.例2.(09湖北改编)已知)11(xxf=2211xx,则)(xf的解析式可取为题型2:求抽象函数解析式例1.已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(,求)(xf考点4:求函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围,实际操作时要注意:①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。例1.(08年湖北)函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()A.),2[)4,(;B.)1,0()0,4(;C.]1,0()0,4[,;D.)1,0()0,4[,题型2:求复合函数和抽象函数的定义域例1.(2007·湖北)设xxxf22lg,则xfxf22的定义域为()A.4,00,4;B.4,11,4;C.2,11,2;D.4,22,43例2.已知函数)(xfy的定义域为][ba,,求)2(xfy的定义域例3.已知)2(xfy的定义域是][ba,,求函数)(xfy的定义域例4.已知(21)yfx的定义域是(-2,0),求(21)yfx的定义域(-3x-1)考点5:求函数的值域1.求值域的几种常用方法(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数4cos2sin2xxy,可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域,因为(5)利用基本不等式求值域:如求函数432xxy的值域(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数])2,1[(2224xxxy的值域(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数32()2440fxxxx,[3,3]x的最小值。(-48)(9)对勾函数法像y=x+mx,(m0)的函数,m0就是单调函数了三种模型:(1)如4yxx,求(1)单调区间(2)x的范围[3,5],求值域(3)x[-1,0)(0,4],求值域(2)如44yxx,求(1)[3,7]上的值域(2)单调递增区间(x0或x4)(3)如123yxx,(1)求[-1,1]上的值域(2)求单调递增区间函数的单调性(一)知识梳理1、函数的单调性定义:设函数)(xfy的定义域为A,区间AI,如果对于区间I内的任意两个值1x,2x,当21xx时,都有)()(21xfxf,那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数,I称为)(xfy的单调增区间;如果对于区间I内的任意两个值1x,2x,当21xx时,都有)()(21xfxf,那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数,I4称为)(xfy的单调减区间。如果用导数的语言来,那就是:设函数)(xfy,如果在某区间I上0)(xf,那么)(xf为区间I上的增函数;如果在某区间I上0)(xf,那么)(xf为区间I上的减函数;2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法:(1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间(,)ab内,若总有()0fx,则()fx为增函数;反之,若()fx在区间(,)ab内为增函数,则()0fx,(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为(,],[,)bbaa,减区间为[,0),(0,]bbaa.(3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减(4)若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数(减函数),那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数(减函数)。3、单调性的说明:(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;(2)函数单调性定义中的1x,2x有三个特征:一是任意性;二是大小,即)(2121xxxx;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数xy1分别在)0,(和),0(内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的,只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(。4、函数的最大(小)值设函数)(xfy的定义域为A,如果存在定值Ax0,使得对于任意Ax,有)()(0xfxf恒成立,那么称)(0xf为)(xfy的最大值;如果存在定值Ax0,使得对于任意Ax,有)()(0xfxf恒成立,那么称)(0xf为)(xfy的最小值。(二)考点分析考点1函数的单调性题型1:讨论函数的单调性例1.(1)求函数20.7log(32)yxx的单调区间;(2)已知2()82,fxxx若2()(2)gxfx试确定()gx的单调区间和单调性.解:(1)单调增区间为:(2,),单调减区间为(,1),5(2)222()82(2)(2)gxxx4228xx,3()44gxxx,令()0gx,得1x或01x,令()0gx,1x或10x∴单调增区间为(,1),(0,1);单调减区间为(1,),(1,0).例2.判断函数f(x)=12x在定义域上的单调性.解:函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},则f(x)=12x,可分解成两个简单函数.f(x)=)(,)(xuxu=x2-1的形式.当x≥1时,u(x)为增函数,)(xu为增函数.∴f(x)=12x在[1,+∞)上为增函数.当x≤-1时,u(x)为减函数,)(xu为减函数,∴f(x)=12x在(-∞,-1]上为减函数.题型2:研究抽象函数的单调性例1.已知函数()fx的定义域是0x的一切实数,对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx,且当1x时()0,(2)1fxf,(1)求证:()fx是偶函数;(2)()fx在(0,)上是增函数;(3)解不等式2(21)2fx.解:(1)令121xx,得(1)2(1)ff,∴(1)0f,令121xx,得∴(1)0f,∴()(1)(1)()()fxfxffxfx,∴()fx是偶函数.(2)设210xx,则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx∵210xx,∴211xx,∴21()xfx0,即21()()0fxfx,∴21()()fxfx∴()fx在(0,)上是增函数.(3)(2)1f,∴(4)(2)(2)2fff,∵()fx是偶函数∴不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf,又∵函数在(0,)上是增函数,∴2|21|4x,解得:101022x,6即不等式的解集为1010(,)22.题型3:函数的单调性的应用例1.若函数2)1(2)(2xaxxf在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是______(答:3a));例2.已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数,则实数a的取值范围_____(答:1(,)2);考点2函数的值域(最值)的求法求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。题型1:求分式函数的最值例1.(2007上海)已知函数xaxxxf2)(2).,1[,x当21a时,求函数)(xf的最小值。[解析]当21a时,2211)(',221)(xxfxxxf1x,0)(xf。)(xf在区间),1[上为增函数。)(xf在区间),1[上的最小值为27)1(f。题型2:利用函数的最值求参数的取值范围例2.(2008广东)已知函数xax
本文标题:高考数学之函数知识点总结
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