U型通道的优化设计

1U型通道的优化设计很多拥有大型设备的企业，如：火力发电厂，它拥有锅炉，汽轮机，发电机等大型设备，在进行厂房规格的设计时，必须首先考虑这些大型设备能够顺利安装到机位上。如何将设备顺利地安装到机位上就涉及到运输通道的设计问题。假定某企业新购置一台长为l的设备，要从A处经过U型通道运抵B处并安装在B处（如图1，5所示）。已知U型通道的两个直道宽度为h，U通道是由两个半径分别为r和R的同心圆的圆环构成，其中小圆的半径r固定，而大圆的半径R有一定的伸缩性，即U通道还有一定的拓宽空间，试解决以下两个问题：1.按图1所示的U型通道结构，设计圆环的宽度（Rr），使大型设备M顺利运送到B处，且不能因为运送设备而浪费U通道外侧空间区域。2.任何设备不可能只有长度没有宽度，假设设备M为圆柱形，其长度为l，直径为d（dhl），如图5所示的U型通道结构，请设计圆环的宽度（Rr），使大型设备M能够顺利运送到B处。求解1：已知设备长度为l，U型通道内圆半径为r，直道宽度为()hhl。首先，设备长度应满足22lrh。其次，当设备完全进入U型通道时，U通道的最窄宽度应为22()2lHrr（如图2所示）。当hH时，设备可顺利通过。当hH时（如图3所示），问题转化为当设备的一端沿有向线段NS从N点滑动到S点时，设备的另一端点P与同心圆圆心O，及设备与内圆切点Q构成的直角三角形PQO的斜边y的最大值问题。U通道MRrA图1.U型通道示意图hhB2lU通道RrA图2.U型通道示意图hhB2易知：有向线段NS的长度为222()NSHhrHh。设蓝色线段长度为x，则2222122,lxhrhlyr，所以22222xhrhyrl，从而2222222222()222[2(),2()]yfxxrlhrhlxhrhxHhrHhHhrHh设222222()222Fxxrlhrhlxhrh，则()()Fxfx与在相同点处取得极值和最值。222()22lxFxxxhrh，令()0Fx，求得三个驻点22220120,2,2xxlhrhxlhrh。注意到：22220[2(),2()]xHhrHhHhrHh，2222221,22[2(),2()]xlhrhHhrHhHhrHh。上式的几何意义如图4所示。AOQPS1l2l1lxHhyr图3.U型通道示意图hhBNU通道32223/22(2)()2(2)lhrhFxxhrh，由于222122hrhxhrhll，所以02223/2022(2)(2)()120(2)2xlhrhhrhlFxhrhhrh。00x为极大值点，也是最大值点。最大值为022220()(0)222xfxfrlhrhlhrh，所设计的U型通道宽度为2222222rlhrhlhrhr。求解2：已知圆柱体设备长度为l，直径为d，U型通道内圆半径为r，直道宽度为()hdhl。设备通过U型通道时，可看成是长为l，宽为d的矩形平板平行于地面通过U型通道（如图6所示）。当设备完全进入U型通道时，U通道的最窄宽度应为22()()2lHdrr。当hH时，设备可顺利通过。2212lhrhxAOPS1lxHhr图4.U型通道示意图hhBNU通道4当hH时（如图7所示），问题转化为当设备的一端沿有向线段NS从N点滑动到S点时，设备的另一端点P与同心圆圆心O，及设备与内圆切点延长线交设备另一边于Q点构成的直角三角形PQO的斜边y的最大值问题。易知：有向线段NS的长度为222()NSHhrHh。设绿色线段长度为x，则22212()lxhdrhd，222()lyrd，所以HhU通道RrBAhh图6.U型通道示意图2l1QlOPxSNrU通道yBAh图7.U型通道示意图hU通道RrBAhh图5.U型通道示意图M5222222()()xhdrhdyrdl，从而22222222222()222()[2(),2()]yfxxrlhrhlxhdrhdxHhrHhHhrHh，设2222222()222()Fxxrlhrhlxhdrhd，则()Fx与()fx在相同点处取得极值和最值。且2222()22()lxFxxxhdrhd，令()0Fx，求得三个驻点22201,20,2()xxlhdrhd。222223/22(2())()2(2())lhdrhdFxxhdrhd，由于2222212()2()hdrhdxhdrhdll，所以022022(2())()202()xhdrhdlFxhdrhd。00x为极大值点，也是最大值点。最大值为0222220()(0)2222xfxfrlhrhlhrhrdd，所设计的U型通道宽度为222222222rlhrhlhrhrddr。