R语言学习系列26-均值的t检验

24.均值的T检验（一）t分布若样本均数X服从正态分布2(,)XN，经过U变换XX,可以变成标准正态分布N(0,12),也成为U分布.实际工作中，由于总体标准差X未知，用样本标准差XS代替，则XXS不再服从标准正态分布，而是服从t分布：,1/XXXtnSSn其中，S为样本方差，n为样本含量，v为自由度。t分布只有一个参数——自由度v.v→∞时，t分布无限接近标准正态分布。t分布的图形说明：单侧概率（单侧尾部面积）用,t表示；双侧概率（双侧尾部面积）用/2,t表示；例如，t0.05,10=1.812,则P(t≤-1.812)=P(t≥1.812)=0.05t0.05/2,10=2.228,则P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)=0.05（二）t检验t检验，是一种针对连续变量的参数假设检验，用来检验“单样本均值与已知均值（单样本t检验）、两独立样本均值（独立样本t检验）、配对设计资料的均值（配对样本t检验）”是否存在差异，这种差异是否能推论至总体。T检验适用于样本含量较小（比如n60，大样本数据可以用U检验），适用条件：①数据服从正态分布；②满足方差齐性（方差相等）；注：若数据不满足①，②，可以尝试对数据做变量变换：对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。方差齐性检验要求两样本数据的总体均服从正态分布，统计量F为为较大的方差与较小的方差的比值：21112222,1,1SFnnS原假设H0：两总体方差相等；H1：两总体方差不相等。使用car包中的函数leveneTest()实现，基本格式为：leveneTest(y,group,center=,...)leveneTest(formula,data,subset,...)其中，y为样本数据；group为因子型的分组变量；center指定计算每组的中心的方法，默认是中位数median，也可以用均值meanformula设置公式格式：formula=定量变量~分组变量示例：setwd(E:/办公资料/R语言/R语言学习系列/codes)load(chengji.Rdata)head(chengji,3)classsexMathEnglishRank111606642114258531178953library(car)leveneTest(Math~as.factor(class),data=chengji)Levene'sTestforHomogeneityofVariance(center=median)DfFvaluePr(F)group10.02840.866948说明：P值=0.86690.05,接受原假设，即方差齐。注：leveneTest是先对数据做一定变换再进行组间齐性检验，也是一般统计分析软件做方差齐次检验的方法。另外，R语言自带的方差齐性检验函数var.test()和bartlett.test()是对原始数据的方差进行检验（只适合正态或对称数据），所以P值结果会有差异。它们的基本格式是一致的：var.test(x,y,alternative=c(two.sided,less,greater),conf.level=0.95,...)var.test(formula=,data,subset,...)其中，x,y为数值向量；示例：bartlett.test(Math~as.factor(class),data=chengji)Bartletttestofhomogeneityofvariancesdata:Mathbyas.factor(class)Bartlett'sK-squared=0.063063,df=1,p-value=0.8017（三）R语言实现用函数t.test()实现，基本格式为：t.test(x,y=NULL,alternative=,mu=0,paired=FALSE,var.equal=FALSE,conf.level=0.95,...)其中，x,y为要检验的样本数据，若只有x则进行单样本t检验；alternative指定备择假设，默认two.sided双侧检验(t≠t0)，less左侧检验(t≤t0)，greater右侧检验(t≥t0)；mu指定要检验的均值；paired指定是否做配对t检验，默认FALSE；var.equal指定两组样本是否方差齐；conf.level为置信区间的置信水平；或者使用公式格式：t.test(formula,data,subset,na.action,...)其中，formula指定公式的形式：var~factor，左侧是数值变量，右侧是二分组的因子变量。一、单样本的t检验要求数据满足正态性。问题1：检验“数学成绩”的平均值是否≥78分。setwd(E:/办公资料/R语言/R语言学习系列/codes)load(chengji.Rdata)#两个班50个人的数学英语成绩等head(chengji)classsexMathEnglishRank111606642114258531178953412657445126884461157585shapiro.test(chengji$Math)#正态性检验Shapiro-Wilknormalitytestdata:chengji$MathW=1,p-value=0.3t.test(chengji$Math,mu=78,alternative=greater)OneSamplet-testdata:chengji$Matht=-1,df=50,p-value=0.9alternativehypothesis:truemeanisgreaterthan7895percentconfidenceinterval:72.5Infsampleestimates:meanofx75.8说明：正态性检验p值=0.30.05,接受原假设，即服从正态分布。单样本t检验，备择假设μ≥78（H0:μ78），p值=0.90.05，接受原假设，即数学成绩平均分78分。二、独立样本T检验要求数据满足：独立性、正态性、方差齐性。问题2：检验1班和2班的数学成绩是否存在差异。两个不同班的数学成绩可以认为是相互独立的，由前文知两个班的数学成绩满足方差齐性。t.test(Math~class,data=chengji,var.equal=TRUE)TwoSamplet-testdata:Mathbyclasst=-1.732,df=48,p-value=0.0897alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-14.496081.07941sampleestimates:meaningroup1meaningroup272.2916779.00000说明：甲班的数学平均分=72.29，乙班的数学平均分=79；两独立样本t检验，H0:μ1=μ2；p值=0.08970.05,故接受原假设，即认为两个班的数学平均分在统计学意义上没有差异。三、配对样本T检验配对设计实验的数据：①同一受试对象处理前后的数据；②同一受试对象两个部位的数据；③同一样品用两种方法/仪器检验的结果；④配对的两个受试对象分布接受进行两种处理后的数据。配对数据之间有一定的相关性，配对样本T检验就考虑到了这种相关性，其基本原理是为每对数据求差值，若无差异则差值的总体均值为0.问题3：用某药治疗10名高血压病人，对每一病人治疗前、后的舒张压（mmHg）进行了测量，数据见代码，问该药有无降压作用？datas-data.frame(id=1:10,before=c(120,127,141,107,110,114,115,138,127,122),after=c(123,108,120,107,100,98,102,152,104,107))datasidbeforeafter111201232212710833141120441071075511010066114987711510288138152991271041010122107t.test(datas$before,datas$after,paired=TRUE)Pairedt-testdata:datas$beforeanddatas$aftert=2.6455,df=9,p-value=0.02667alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:1.448918.5511sampleestimates:meanofthedifferences10说明：治疗前后血压均值之差=10；配对T检验是针对“差值”的均值，H0:均值差μd=0；p值=0.026670.05,故拒绝原假设H0，即该药物有作用。