R软件及其在金融定量分析中的应用-CH07.

R软件及其在金融定量分析中的应用主编：许启发、蒋翠侠制作：王侠英、侯奇华2014年10月编写第一章分位数回归与VaR(ES)计算第一节VaR与ES的计算第二节分位数回归与VaR(ES)计算第三节VaR(ES)的极值方法第四节习题第五节参考文献第一节VaR与ES的计算VaRVaR的定义•VaR是指一个特定的金融资产或资产组合，在特定的持有期内，在一定置信水平100(1-τ)%下，其面临的最大可能损失。•损失和收益的关系可以由图7-1表示，其中右侧的实线表示损失，左侧的实线表示收益。•R代码演示如下：第一节VaR与ES的计算VaRVaR的定义图7-1损失和收益的关系第一节VaR与ES的计算VaRVaR的定义•影响VaR计算的几个主要因素–上尾部概率τ–持有期Δt–损失的累积分布函数–金融头寸的资产价值需要注意的是，空头头寸与多头头寸在实际分析过程中有明显不同。第一节VaR与ES的计算VaRVaR的性质•单调性：如果L1≤L2在任何情况下都成立，则VaRτ(L1)≤VaRτ(L2)•正齐次性：对于任意正数h，有VaRτ(hl)≤hVaRτ(L)•平移不变性：对于任意一个固定的常数α，有VaRτ(L)≤VaRτ(L)+α•不满足次可加性ESES的定义•对于金融资产损失函数L，在VaR的基础上，可以给出置信水平100(1-τ)%的ES定义如下ES1-τ(L)=E[Lt|LtVaR1-τ(L)](7.2)ES的性质•ES不但满足单调性、正齐次性、平移不变性，而且还满足次可加性，是一致性风险测度。第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算RiskMetrics模型表示•RiskMetrics模型可以表示为式中，εt服从标准正态分布，σt²服从一个无漂移的IGARCH(1,1)模型，λ为权重参数，RiskMetrics推荐选λ=0.94。第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算基于RiskMetrics模型的VaR计算•(7.3)•(7.4)•(7.5)•(7.6)第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算基于RiskMetrics模型的VaR计算•(7.7)•(7.8)•(7.9)第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算基于RiskMetrics模型的ES计算•当rt服从条件正态分布时，持有期为1天的VaR可以表示为VaR1-τ=z1-τσt+1，则持有期为1天的ES为(7.10)•例如τ=0.01时，ES0.99=2.665σt+1。当持有期为l天时，有VaR1-τ(l)=z1-τσt+1l½，因此可以求出相应的ES为(7.11)第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算案例分析•例7-1：考虑APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的日对数收益率，假定其条件均值为0，条件方差服从无漂移的IGARCH(1,1)模型，权重参数λ=0.94，则当上尾概率τ=0.05时，在R软件中使用rugarch包求出多头头寸持有期为1天和5天的VaR和ES。•R代码演示如下：第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算案例分析图7-2APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的价格与交易的时序图第一节VaR与ES的计算RiskMetrics模型与VaR和ES的计算案例分析•由于对数收益率乘100，可求出以下结果：持有期为1天时，相应的VaR为0.021，ES为0.026。持有期为5天时，相应的VaR为0.047，ES为0.059•假定一个投资者持有苹果公司的股票价值为100万美元，则该投资者持有期为1天的VaR为1000000*0.021美元=21000美元，ES为1000000*0.026美元=26000美元，持有期为5天的VaR为1000000*0.047=47000美元，ES为1000000*0.059美元=59000美元。第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算GARCH模型表示•根据第六章中GARCH模型的相关内容，某金融资产的日对数收益率rt的一般时间序列模型可以表示为(7.12)(7.13)第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算基于GARCH模型的VaR计算•根据式(7.12)和式(7.13)，可以得到日对数收益率rt的条件均值和条件方差的向前一步预测，即可以得到(7.14)(7.15)第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算基于GARCH模型的VaR计算•在t时刻可以得到的信息集Ωt下，rt+1服从条件均值为，条件方差为的条件正态分布，即。令τ为上尾概率，则在t时刻可以计算出持有期为1天的VaR为(7.16)第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算基于GARCH模型的VaR计算•如果假定εt服从自由度为s的标准studentt-分布，则计算出持有期为1天的VaR为(7.17)式中，t1-τ(s)为自由度为s的studentt-分布的1-τ分位数第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算基于GARCH模型的ES计算•当日对数收益率rt+1服从条件正态分布时，假定εt服从标准正态分布，则可以计算出持有期为1天的ES为(7.18)第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算基于GARCH模型的ES计算•如果假定εt自由度为s的标准studentt-分布，则持有期为1天的ES为(7.19)第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算案例分析•例7-2：续例7-1，仍考虑APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的日对数收益率，假定其条件均值服从ARMA(0,0)模型，其条件方差过程服从GARCH(1,1)模型，假定εt服从标准正态分布，当上尾概率τ=0.05时，在R软件中使用fGarch包求出多头头寸持有期为1天的VaR和ES。•R代码演示如下：第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算案例分析•由于对数收益率乘100，可求出以下结果：持有期为1天的VaR为0.025，ES为0.032。•当持有期改为5天时：持有期为5天的VaR为0.027，ES为0.034。第一节VaR与ES的计算GARCH模型与VaR和ES的计算案例分析•例7-3：续例7-1，仍考虑APPLE公司股票1989-12-01到2013-11-30的日对数收益率，假定其条件均值服从ARMA(0,0)模型，其条件方差过程服从GARCH(1,1)模型，假定εt服从自由度为5的标准studentt-分布，当上尾概率τ=0.05时，在R软件中使用fGarch包求出多头头寸持有期为1天的VaR和ES。•R代码演示如下：•结果：持有期为1天的VaR为0.025，ES为0.037。第一节VaR与ES的计算第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型表示•设Y为一元随机变量，其右连续分布函数为F(y)=Pr(Y≤y)，则对于任意0τ1有F-1(τ)=inf{y|F(y)≥τ}(7.20)式中，F-1(τ)为Y的第τ分位数。当τ=1/2时，F-1(0.5)即为Y的中位数。第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型表示•(7.21)•(7.22)•(7.23)•(7.24)•(7.25)第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型表示•(7.26)•(7.27)•(7.28)•(7.29)第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型表示•(7.30)•(7.31)第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归参数估计•分位数回归的参数估计方法主要有–单纯形算法(SimplexMethod)–内点算法(InteriorPointMethod)•Koenker等(1978)[6]将单纯形算法应用于分位数回归分析，给出了分位数回归模型参数估计的单纯形算法。第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归参数估计•例7-4：考虑上证综合指数2012-01-01到2013-12-31的日收盘价和日交易量，对日收盘价取对数得到日对数收益率，对日交易量取对数得到对数日交易量，以日对数收益率为响应变量，以对数日交易量为解释变量，当分位点τ为0.5时，运用线性分位数回归进行参数估计，并画出分位点τ为0.05,0.10,0.25,0.50,0.75,0.90,0.95时的回归估计曲线。•R代码演示如下：第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归参数估计•在图7-3中，实线表示线性均值回归模型的估计结果，长虚线表示τ=0.5时的线性中位数回归估计结果，短虚线表示τ为0.05,0.10,0.25,0.75,0.90,0.95时的线性分位数回归估计结果。第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归参数估计图7-3上证综指2012-01-01至2013-12-31价量关系线性分位数回归拟合图第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•线性分位数回归的检验方法主要有Wald检验、秩检验、似然比检验。•这里主要介绍秩检验，并介绍秩检验求线性分位数回归参数估计的置信区间。•Koenker(1994)[10]将秩检验运用到线性分位数回归中，并求出参数估计值的置信区间。第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•令Ri表示第i个观测值yi在样本中的秩，则秩记分函数为(7.38)•根据不同的得分函数φ对积分，可以得到类似秩统计的向量，用来构造检验。例如，使用φ(t)=1/2sgn(t-1/2)可以得到符号得分数第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验(7.39)•可以将Hajek-Sidak秩记分看作是一个更普遍的线性模型的特殊形式，在此线性模型中，定义为线性规划问题的解(7.40)第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•秩检验其实就是分位数回归中的拉格朗日乘数，考虑以下的模型(7.41)建立假设H0：ξ(τ)＝0H1：ξn(τ)＝ξ0(τ)/n½对限制条件下的模型进行估计，我们得到第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•由此可以得到检验统计值(7.42)式中，可以证明，在H0下，Tn趋向于xk²分布，k是ξ的维数。第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•利用秩检验可以求出参数估计的置信区间。利用第τ分位点的得分函数φτ(t)=τ-I(tτ)，当ξ是一个标量时，如式(7.39)讨论的构造过程一样，可以得到(7.43)式中，，。第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•因此H0：ξ=ξ0的检验可以通过求解以下优化问题的解得到其中，。由此可以进一步计算出第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•例7-5：继续例7-4，仍考虑上证综合指数2012-01-01到2013-12-31的日收盘价和日交易量，对日收盘价取对数得到日对数收益率，对日交易量取对数得到对数日交易量，以日对数收益率为响应变量，以对数日交易量为解释变量，当分位点τ为0.5时，运用线性分位数回归进行参数估计，并用秩检验方法求出参数估计的置信区间。•R代码演示如下：第二节分位数回归与VaR(ES)计算线性分位数回归模型检验•Coefficients:coefficientslowerbdupperbd(Intercept)-0.04906-0.07381-0.02196x0.004310.001910.00646•根据以上运行结果并运用秩检验方法可得到：截距项的置信区间为[-0.07381,-0.02196]，回归系数的置信区间为[0.0019