Saint-Venant有限元分析及应用

《有限元分析及应用》课程CASESTUDY直杆受集中拉伸外载情形下Saint-Venant等效原理的数值验证及分析摘要：本文在ANSYS12.1平台上，采用有限元法对Saint-Venant等效原理进行数值验证，并定义截面错误!未找到引用源。分布的不均匀度，定量分析不均匀度的变化规律。根据Saint-Venant等效原理应力在一定的范围内是不均匀的，并且它的影响范围可以用有限元软件模拟出来。数值实验表明，集中荷载作用于梁端很有限的距离内，导致截面应力不均匀度的急剧变化，这个作用范围仅占梁全尺度的0.0011%，超过这个尺度范围不均匀度几乎为定值，即“所受影响可以不计”。验证了圣维南原理的精确性和正确性。关键词：圣维南原理，应力分布，平面应力，有限元法1、引言Saint-Venant原理表明：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。应用Saint-Venant原理时必须注意：不仅变换的面力必须与原面力静力等效，而且只能在局部边界上进行静力等效变换。所谓“近处”，是指小边界附近区域。Saint-Venant原理指出，在此范围内，应力将发生显著的变化；但在此范围之外，对应力的影响很小，可以忽略不记。也就是说，在小边界进行面力的等效变换，只改变局部区域的应力分布，对此外的大部分区域没有什么影响。2、计算模型图1计算简图计算模型如图1，一个长100高10厚1的直杆，在X方向承受100N的拉力，左端施加X方向Y方向的约束。杆的弹性模量为2.1×107，泊松比为0.3，密度为2.7g/错误!未找到引用源。。有上述的条件可以进行有限元模型建立。采用大型有限元通用软件ANSYS进行模型的建立，由于该直杆是实体单元承受XY方向的应力所以采用PLANE42单元，模型如图2所示。图2初始模型模型的网格的大小会对计算的结果有很大的影响，本例划分的大小是X方向的的距离是100/7，Y方向的距离为10/4。进行网格的划分，划分后的单元如图3所示。.图3划分网格后的模型荷载在直杆的端施加XY方向的约束，对直杆的XY方向位移加以约束，对直杆左侧划分的单元进行约束，在直杆右端施加一个在X方向的力大小为100，计算模型如图4。图4加约束后的模型进行计算后直杆的变形情况，直杆在X变形比较大，在直杆右侧局部变形比较大，说明此处应力集中比较严重，在Y方向有微小变形，如图5。图5分析后的模型的变形3、各截面错误!未找到引用源。分布不均匀度定义及其变化规律研究定义任一截面错误!未找到引用源。沿Y方向的不均匀度r为：错误!未找到引用源。，其中：错误!未找到引用源。x=错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为x=d截面上沿X方向的应力分布，如图8所示。图8不均匀度计算简图H=10时，有限元计算模型图、受拉变形图及受拉应力云图见图6。图6计算后应力云图H等于20，30时的有限元计算模型及受拉变形图、拉应力云图略。经FEM计算出不同H值时，对应的d～r曲线见图7，其曲线方程为：其中，r0=0.48789；A=0.1387；ω=0.00158；dc=100.00148。图7d～r关系曲线由图3、7分析知：在d≤99.9989时，r值几乎为定值1，就是说在d≤99.9989的各截面上应力分布很均匀，各应力值相等，并且和名义应力等值；在d＞99.9989的各截面上应力分布变化剧烈，见图4，其曲线斜率急剧增大，不同的梁高H，表现了相同的变化趋势，即应力不均匀度r值的变化在这一区段内急剧的改变，但在离开该区段不远后就趋于定值1。以上分析就验证了圣维南原理，“尽管在力的作用区域的附近，应力分布将有显著的改变，但在离力的作用区域相当远处，所受的影响可以不计”。这里“应力值的显著改变”突出表现在应力不均匀度r值由1剧变为12.63。这里的“相当远处，所受的影响可以不计”，就可以认为在d≤99.9989时，所受的影响可以不计。4、误差分析以H=10为例，在d＞99.9989时，其截面最大应力σx的相对误差为：错误!未找到引用源。5、结论(1)集中荷载作用于梁端很有限的距离内，导致截面应力不均匀度的急剧变化，这个作用范围仅占全尺度的0.0011%，超过这个尺度范围不均匀度几乎为定值，即“所受影响可以不计”。这完全验证了圣维南原理的正确性。(2)不同高度的梁，数值实验的结果基本一致。(3)文章未考虑由数值计算引起的误差。6、参考文献[1]徐芝纶.弹性力学(第二版).北京:人民教育出版社,1982.