sx1207程序化与构造性

专题7程序化与构造性一、古代：建立数学理论体系的两种基本方式1．希腊：公理化的演绎体系虽然希腊数学在整体上是公理化的演绎数学体系，但在具体的数学方法上仍含有大量构造性的因素，例如Euclid证明“存在无穷多个素数”的方法。实际上，在19世纪以前，一般来说，对数学对象存在性的证明都是通过实际获得或显示出问题中的量而建立起来的。2．中国：构造性、机械化的算法体系⑴《九章算术》《九章算术》是中国古代影响最为深远的数学典籍。它系统总结了秦汉以前的数学成就，标志着中国传统数学理论体系的建立，成为汉代以后直到宋元时期一千多年间中国数学高度发达的辉煌开端与重要源泉。魏晋时刘徽为之作注，为传统数学奠定了较为完备的理论基础。《九章算术》及其刘徽注不仅对中国古代数学的发展，而且对世界数学的发展也产生了巨大影响，是世界数学史上的传世名作。《九章算术》成书于公元纪元前后，收入246个数学问题，大多与当时的生产及生活实际密切相关，但也包括一些较纯粹的数学理论问题。每题大致由问(问题)、答(答案)、术(解题方法或过程)三部分组成。全书以具体问题及其解法为模型，广泛阐发中国数学的独特理论和方法，按性质分属九章：①方田，田亩面积计算。包括系统而完备的分数算法，矩形、等腰三角形、直角及等腰梯形、圆、圆环等面积的正确公式，以及弓形与球冠形面积的近似公式。约分术中使用了更相减损术，即辗转相除法，从而引出了最大公约数的概念。②粟米，四项比例算法及其应用。其中“其率术”用带余除法解题，成为后世以鸡兔同笼问题为代表的一大类数学问题的开端。③衰分，配分比例与反比例。比例理论是全书的核心内容之一，在粟米、衰分、均输三章中给出各种算法，有些问题涉及等差、等比数列。④少广，已知面积、体积而求长度，其中开方术、开立方术给出的开方程序可直接用于求解二次及三次方程的正根，并可自然推广到开高次方及求解一般高次方程的正根。开立圆术由球体积求其直径，等价于一个粗略的球体积公式。⑤商功，土木工程中的体积计算。给出多种棱柱、棱锥、棱台、拟柱体以及圆柱、圆锥、圆台体积的正确公式。⑥均输，以配分比例解决复杂的赋税摊派等问题。⑦盈不足，双假设法的原理及其应用。通过两次假设及检验，将各种复杂的线性问题和非线性问题转化为盈亏类问题，用统一的模式给出解答。⑧方程，线性方程组解法，运用加减消元法给出统一的演算程序，由此引出正负数的加减法运算并给出明确的法则。⑨勾股，与直角三角形有关的各种问题，包括勾股定理及其应用、勾股恒等变形、整勾股数一般公式，以及利用相似勾股形的比例性质进行测量的问题。历史地位①《九章算术》是先秦到汉代数学发展的系统总结，标志着中国传统数学理论体系的建立，传统数学的大致分类与基本格局的形成以及它作为构造性、机械化算法体系的确立都始于《九章》。②《九章》所涉及的内容与主题，它的通过数学问题阐述理论与方法的形式，构造性、机械化、形数结合、注重应用的数学思想，对后世数学的发展与数学著作的编纂产生了深远影响，成为大量数学成果的源头。③《九章》中系统而完备的分数算法，整齐划一、便于推广的开方程序，体系严整、求解迅速的线性方程组理论，均比其他国家的相近成果早千年以上，比例算法与正负数运算也早500年以上。书中许多著名问题曾传入印度、阿拉伯和欧洲，盈不足术传入欧洲后成为长期占支配地位的算法。以《九章算术》为代表的机械化算法体系，与以希腊《几何原本》为代表的公理化演绎体系，各擅其长，东西辉映，为世界数学发展的两大源泉。⑵刘徽刘徽是魏、晋间杰出的平民数学家，一生钻研《九章》，著《九章算术注》。他在数学理论、方法、技巧和程序等方面多所建树和发明，是传统数学理论体系当之无愧的奠基者。刘徽改变了以往数学名词约定俗成的惯例，对《九章》和他本人所用的重要词汇均予定义，逻辑严谨，含义明确，为严格的演绎论证创造了前提。《九章算术》载有大量数学公式和法则，有的难度很高，决非简单的经验归纳所能获得，但其推理过程却完全没有记载，刘徽从自然数的四则运算、长方形面积、长方体体积、出入相补原理、截割原理等基本法则和原理出发，一一给出证明和深入的理论分析，体现了明显的严格求证思想和高超的论证技巧，运用了多种逻辑推理方法，其基本原则是“析理以辞，解体用图”，即分析道理靠逻辑论证，阐发几何对象使用各种图形，还广泛使用了立体几何模型。他将计算与推理有机地结合，发扬中国数学构造性与机械化的精神，对《九章》的内容按照由简单到复杂的顺序进行论证，形成了较为严谨的理论体系。刘徽在数学上有许多杰出的创造。他从分数的通分过程中概括出“齐同术”，并将其推广为处理比率问题的一般方法。在注解开平方和开立方法时，他精辟地研究了二次及三次不尽根并首创十进分数逼近它们。在注解圆面积公式时，他结合极限观念和出入相补原理创立了割圆术，求得圆周率的近似值157／50（3.14）和3927／1250（3.1416），其方法对后世产生了深远影响。为求得由底为直角三角形的直棱柱分割成的一个四棱锥与一个三棱锥的体积之比，从而导出各自的体积公式，他采用无限分割、逐次拼合的方法建立了关于锥体体积的“刘徽原理”。在处理体积问题时，他创造性地运用两立体图形相应截面面积之间的关系确定它们体积之间的关系，例如分别作圆柱、圆锥、圆台的外切方柱、方锥、方台，由其横截面积之比为π∶４，推得其体积之比也是π∶４，在推导球体积公式时还引入了“牟合方盖”的概念。在这些工作中，刘徽明确地使用了极限方法，并对相应的理论问题有了初步认识。⑶秦九韶与《数书九章》南宋数学家秦九韶(约1202／1209～约1261）著《数书九章》(1247)十八卷，收入81个问题，分为九类：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易。每类九题，每题之下有答、术和草。《数书九章》对数学的主要贡献有：“大衍总数术”，即一次同余式组的一般解法；“正负开方术”，即高次方程的数值解法；系统地研究和总结了勾股测量问题；独立地推导出由三角形三边确定其面积的“三斜求积”术，与古希腊海伦(Heron)公式等价。⑷中国传统数学中的典型构造性、机械化算法①《九章算术·方田》约分术。“约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”②《九章算术·少广》开方术。“开方术曰：置积为实，借一算。步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下，复置借算步之如初。以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法，复除，折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。”③《九章算术·盈不足》盈不足术。“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实。实为物价，法为人数。”④《九章算术·方程》方程术。8-1：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾一秉各几何。答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。”“方程术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉、实三十九斗于右方。中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实.余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”⑤刘徽割圆术⑥刘徽阳马术注⑦秦九韶正负开方术。《数书九章》中有21题需要用二次以上的方程求解，共给出高次方程26个，次数最高的达10次，对次数实际已无限制。秦九韶称自己的解法为“正负开方术”，其基本原理与贾宪的增乘开方法一致，但据现有文献，贾宪只用增乘开方法处理了开高次方问题，并未给出求高次方程正根的一般方法，而要实现这一进步，尚有一些实质性的困难需要克服。秦九韶通过自己的创造，出色地完成了这项工作。他的方法在西方被称为鲁斐尼(Ruffini，1804)-霍纳(Horner，1819)法，然而秦九韶的方法不仅在时间上早500多年，在步骤上也比后者更加井然有序。⑧秦九韶大衍总数术。中国古代的一次同余式组问题起源于汉代《三统历》中的上元积年推算，《孙子算经》“物不知数”问题是其现存最早的数学模型。由于中国历代统治者均将制定和颁布历法视为皇权的象征，而上元积年的推算被认为是历法计算的关键之一，从而使一次同余式组解法长期成为不传之秘。秦九韶“早岁侍亲中都，因得访习于太史”，得以知其梗概。经过潜心研究，终于将其推广到最一般的情形，作出了辉煌的理论总结。他认为，一次同余更早的渊源是周代的卜筮之法，故摘取《周易·系辞上》“大衍之数五十，其用四十有九”中“大衍”二字冠于这一理论的名称之上。他的方法相当于求解满足N≡Ri(modAi)，(i＝1，2，…，n)的所有N中的最小正整数，其中A1，A2，…，An未必两两互素，甚至未必是整数。其演算完全是程序化的，分为两部分：①化问数为定数：将所给数据标准化。秦九韶处理的一次同余式问题，模数分为四类：一般整数；含有同一公因数的整数；分数；十进小数。秦九韶通过独特的演算程序将各种模数化为满足一定条件的正整数，使其解不变。②运用剩余定理求解的演算程序，其中求“乘率”是全部算法的关键。为求得乘率，秦九韶设计了极为精巧的演算程序，称为大衍求一术。大衍总数术的发明具有划时代的意义。在欧洲，经过欧拉(L.Euler，1707～1783)、拉格朗日(Lagrange，1736～1813），高斯（Gauss，1777～1855）三位数学大师60多年的努力才达到同样水平。高斯晚年得知中国古代早以获得这一成果后说，发明大衍术的数学家是最幸运的天才。⑸模型化方法在中国传统数学中的地位以问题为中心、以算法为基础，主要依靠归纳思维建立数学模型，强调基本法则及其推广，是中国传统数学思想的精髓。中国传统数学最本质的方法是归纳，认识过程是由特殊到一般，数学知识是针对具体的对象，通过观察、操作、比较、分析的过程，然后归纳、概括的产物。中国传统数学的实用性，要求数学研究的结果必须能对各种实际问题进行分类，对每类问题给出统一的解法；以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式，倾向于建立基本问题的结构与解题模式,一般问题则被化归、分解为基本问题解决；由于中国传统数学未能建立起一套抽象的数学符号系统，对一般原理、法则的叙述一方面是借助文辞，一方面是通过具体问题的解题过程加以演示，使具体问题成为相应的数学模型。根据今天的观点，数学模型是对现实世界的某一特定对象，为某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具描述和揭示对象的某些特征而得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型按其性能一般分为三类：产生于具体的实际问题的应用性模型，从应用性模型抽取其相同数学特征而得的概括性模型，对大量概括性模型中共同的数学本质再进行概括和抽象而形成的抽象性模型。从总体上说，现代所说的数学模型是可以用来解决具体问题的抽象结构，而所谓中国古代的数学模型则是用以揭示一般方法的具体问题与解题模式，接近于现代的应用性模型，二者表面上虽不一致，但本质上是相通的。在归纳思维、注重实用、注重基本原理的思想指导下，模型化的思想与方法在中国传统数学中得到了广泛的运用，这在《九章算术》及其刘徽注中体现得尤为突出。《九章算术》共收入246个数学问题，分属九章，可以看作九类基本问题。每题大致由问(问题)、答(答案)、术(解题方法或过程)三部分组成，以具体问题及其解法为模型，揭示与说明一般原理、法则及其应用。这些问题，有的独立地对应于某一原理或法则，有的表现了同类问题的各种不同情形。书中的“术”共