§2.1.1 指数(第1—2课时)

§2.1.1指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2xa，则x叫做a的平方根.同理，若3xa，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n次方根：一般地，若nxa，则x叫做a的n次方根（throot），其中n＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数，用na表示，na叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号na表示，其中n称为根指数，a为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？nnnanaanana为奇数,的次方根有一个,为为正数:为偶数,的次方根有两个,为nnanaanan为奇数,的次方根只有一个,为为负数:为偶数,的次方根不存在.零的n次方根为零，记为00n举例：16的次方根为2，527527的次方根为等等，而27的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：()nnaa()nnaa肯定成立，nna表示an的n次方根，等式nnaa一定成立吗？如果不一定成立，那么nna等于什么？让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n为奇数，nnaan为偶数,,0||,0nnaaaaaa如34334(3)273,(8)|8|8小结：当n为偶数时，nna化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)2(2)(10)44(3)(3)2(4)()ab分析：当n为偶数时，应先写||nnaa，然后再去绝对值.思考：()nnnaan是否成立，举例说明.课堂练习：1.求出下列各式的值473473(1)(2)(2)(33)(1)(3)(33)aaa2．若2211,aaaa求的取值范围.3．计算343334(8)(32)(23)三．归纳小结：1．根式的概念：若n＞1且*nN，则n,xaxan是的次方根,n为奇数时,=n为偶数时，nxa；2．掌握两个公式：(0),||(0)nnnaananaaaan为奇数时,()为偶数时,四．作业：P65习题2.1A组第1题第二课时提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0naaaaaaa无意义1(0)nnaaa,;()mnmnmnmnaaaaa,(),()nmmnnnnaaabab2.什么叫实数？----有理数，无理数统称实数.3．观察以下式子，并总结出规律：a＞0①1051025255()aaaa②884242()aaaa③1212343444()aaaa④5105102525()aaaa小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.新课:1.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)aaa,12(0)bbb,5544(0)ccc即：*(0,,1)mnmnaaanNn为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*(0,,)mnmnaaamnN2.正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmnaamnNa3.规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nmmmmaaaaa由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsrsaaaarsQ（2）()(0,,)rSrsaaarsQ（3）()(0,0,)rrrababQbrQ若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)所以，25是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂(0,)paap是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：32的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)rsrsaaaarRsR()(0,,)rsrsaaarRsR()(0,)rrrababarR3．例题（1）．（P56，例2）求值解：①2223323338(2)224②1112()21222125(5)555③5151(5)1()(2)2322④334()344162227()()()81338例题（2）．（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）解：117333222.aaaaaa22823222333aaaaaa31442133332()aaaaaaa分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.课堂练习：P59练习第1，2，3，4题补充练习：1.计算：122121(2)()248nnn的结果2.若13107310333,384,[()]naaaaa求的值小结：1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P65习题2.1第2题