2012年高三数学一轮复习资料第六章-数列第4讲--数列的通项的求法

-1-第4讲数列的通项的求法★知识梳理★数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项.⑵利用公式法求数列的通项：①)2()111nSSnSannn（；②na等差、等比数列na公式.⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1nfaann；②).(1nfaann⑶构造等差、等比数列求通项：①qpaann1；②nnnqpaa1；③)(1nfpaann；④nnnaqapa12.★重难点突破★1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.★热点考点题型探析★考点求数列的通项公式题型1利用公式法求通项【例1】已知nS为数列na的前n项和，求下列数列na的通项公式：⑴1322nnSn；⑵12nnS.【解题思路】已知关系式0),,(naSfnn，可利用)2()111nSSnSannn（，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当1n时，411312211Sa，当2n时，1)1(3)1(2)132(221nnnnSSannn14n.而1n时，15114a，)2(14)1(4nnnan.⑵当1n时，31211Sa，当2n时，1112)12()12(nnnnnnSSa.-2-而1n时，11112a，)2(2)1(31nnann.【名师指引】任何一个数列，它的前n项和nS与通项na都存在关系：)2()1(11nSSnSannn若1a适合na，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2应用迭加（迭乘、迭代）法求通项【例2】⑴已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；⑵已知nS为数列na的前n项和，11a，nnanS2，求数列na的通项公式.【解题思路】⑴已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；⑵已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法.【解析】⑴方法1：（迭加法）)2(12,211nnaaann，121naann11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn135)52()32()12(nnn22)112(nnn方法2：（迭代法）)2(12,211nnaaann，12)1(21221nnanaannn12)1(2)2(23nnnan212)1(2)2(2531nnnn，2nan.⑵11a，nnanS2，当2n时，121)1(nnanS11)1(11221nnaaananSSannnnnnn.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn.)1(21314213211nnnnnnnn【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1nfaann”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1nfaann“；⑵迭加法、迭乘法公式：-3-①11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn②1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn.题型3构造等比数列求通项【例3】已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.【解题思路】递推关系形如“qpaann1”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列.【解析】321nnaa，)3(231nnaa3na是以2为公比的等比数列，其首项为431a.3224311nnnnaa【名师指引】递推关系形如“qpaann1”适用于待定系数法或特征根法：①令)(1nnapa；②在qpaann1中令pqxxaann11，)(1xapxann；③由qpaann1得qpaann1，)(11nnnnaapaa.【例4】已知数列na中，nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.【解题思路】递推关系形如“nnnqpaa1”适当变形转化为可求和的数列.【解析】方法1：nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba12则nnnbb)23(1，112211)()()(bbbbbbbbnnnnn123)23()23()23()23(2321nnn2)23(2nnnna23方法2：nnnaa321，1332311nnnnaa，令nnnba13则1321nnbb，转化为“qpaann1“（解法略）【名师指引】递推关系形如“nnnqpaa1”通过适当变形可转化为：-4-“qpaann1”或“nnnnfaa)(1求解.【例5】已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式.【解题思路】递推关系形如“nnnaqapa12”可用待定系数法或特征根法求解.【解析】令)(112nnnnaaaa由2123或12，)(2112nnnnaaaa数列nnaa1是等比数列，112nnnaa11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn14322112222nnnn.【名师指引】递推关系形如“nnnaqapa12”，通过适当变形转化为可求和的数列.【新题导练】1.已知nS为数列na的前n项和，)2,(23nNnaSnn，求数列na的通项公式.【解析】当1n时，1231111aaSa，当2n时，)23()23(11nnnnnaaSSa.233211nnnnaaaana是以23为公比的等比数列，其首项为11a，.)23(11nna2.已知数列na中，)(0)1()2(,211Nnananann，求数列na的通项公式.【解析】由0)1()2(1nnanan得，211nnaann1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn14232431211nnnnnnn.3.⑴已知数列na中，232,111nnaaa，求数列na的通项公式；⑵已知数列na中，naaann2,111，求数列na的通项公式.【解析】⑴)6(32623211nnnnaaaa，6)32(71nna；⑵令)(21nanann，得1-5-)(21nanann，122nnna，nann24.已知数列na中，nnnaaa33,111，求数列na的通项公式.【解析】nnnaa331，13311nnnnaa，令nnnba13数列nb是等差数列，nnbn)1(11，13nnna.5.（2008全国Ⅱ卷理节选）设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式．【解析】依题意，nnnnnSSSa311，即nnnSS321，由此得)3(2311nnnnSS，.2)3(31nnnnaSb6.(2008广东文节选)已知数列na中，)3(3231,2,12121naaaaannn，求数列na的通项公式.【解析】由213231nnnaaa得)3)((32211naaaannnn又0112aa，所以数列nnaa1是以1为首项，公比为23的等比数列，11)32(nnnaa11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn11)32()32()32()32(232nn1)32(5358n．★抢分频道★基础巩固训练1.若数列na的前n项和1nnaS（Ra，且0a），则此数列是().A等差数列.B等比数列.C等差数列或等比数列.D既不是等差数列，也不是等比数列【解析】C.1nnaS，)2()1(11naaSSannnn当1a时，0na，na是等差数列；0a且1a时，na是等比数列．选C.2.数列na中，)(,111nnnaanaa，则数列na的通项na().A12n.B2n.C1)1(nnn.Dn【解析】Dnnaaaanaannnnn1)(,1111,使用迭乘法，得.nan-6-3.数列na中，)(231Nnaann,且810a，则4a().A811.B8180.C271.D2726【解析】B由)(231Nnaann，得)1(311nnaa，10103)1(1nnaa138nna，.81801344a4.设na是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221Nnaanaannnnn，则数列na的通项na.【解析】nan10)1)((0)1(111221nnnnnnnnannaaaaanaan5.数列na中，)(22,111Nnaaaannn，则na的通项na.【解析】122nan由nnnaaa221，得21111nnaa6.数列na中，)(,1111Nnaaaaannnn，则na的通项na.【解析】.12nan由11nnnnaaaa，得1111nnaannan)1(111，.12nan综合拔高训练7.数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式.【解析】nnnaaa421，2122411nnnnaaaa，)211(22111nnaa.数列211na是以2为公比的等比数列，其首项为.12111a12222111nnnnaa8.已知数列na中，)(05,1,21221Nnaaaaannn，求数列na的通项公式.【解析】0512nnnaaa，)2(32112nnnnaaaa.-7-数列nnaa21是以3为公比的等比数列，其首项为3212aannnnaa333211，nnnnnaa)23(2211.令nnnba12，则nnnbb)23(1，112211)()()(bbbbbbbbnnnnn223)23()23()23()23(2321nnn5)23(2n，nnna3251.