2012年高三数学一轮复习资料第七章-不等式第1讲-----不等关系与不等式

-1-第1讲不等关系与不等式★知识梳理★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;ab;a=b；0baba；0baba；0baba．2．不等式的性质：（1）对称性:abba，abba（2）传递性:,abbc，ac（3）可加性:ab.acbc移项法则:abcacb推论：同向不等式可加.,abcdacbd（4）可乘性:bcaccba0,，,0abcacbc推论1：同向(正)可乘:0,0abcdacbd推论2：可乘方(正):0abnnab`(,2)nNn(5)可开方(正):0abnnab(,2)nNn★重难点突破★1.重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。2.难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.用不等式（组）正确表示出不等关系。3.重难点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简单的不等式.（1）用不等式表示不等关系问题1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？点拨：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为2.5(80.2)0.1xx万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1xx-2-（2）用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围问题2.已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.点拨：∵a+b，a－b的范围已知，∴要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.解析：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴.32yxyx，解得2125yx，∴－25＜25（a+b）＜215，－2＜－21（a－b）＜－1.∴－29＜25（a+b）－21（a－b）＜213，即－29＜2a+3b＜213.错解：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，①2＜a－b＜4.②①+②得1＜2a＜7.③由②得－4＜b－a＜－2.④①+④得－5＜2b＜1，∴－215＜3b＜23.⑤③+⑤得－213＜2a+3b＜217.★热点考点题型探析★考点1不等关系及不等式题型1.建立不等关系[例1]某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.[解析]假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。-3-由以上不等关系，可得不等式组：5006004000300xyxyxy【名师指引】建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换.它们之间的关系如下表.文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多≤小于至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤题型2用:比较法两个数的大小例2.比较ambm与ab（其中0ba，0m）的大小【解题思路】作差整理,定符号解析：()()()()()amabamabmmbabmbbbmbbm，∵0ba，0m，∴()0()mbabbm，所以amabmb．【名师指引】作差比较法的步骤是：1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3、判断符号；4、作出结论．【新题导练】.1.设a=2－5，b=5－2，c=5－25，则a、b、c之间的大小关系为____________.解析：a=2－5=4－5＜0，∴b＞0.c=5－25=25－20＞0.b－c=35－7=45－49＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a2.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为xkm，则19),8(x12)-9(x200,219)8(x解之,得256＜x＜260.答案：256＜x＜260-4-考点2不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论例1.已知：m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b.【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导证法一：由m＞n知m－n＞0，由a＜b知b－a＞0.∴（m－a）－（n－b）＝（m－n）＋（b－a）＞0m－a＞n－b；证法二：∵a＜b∴－a＞－b又∵m＞n∴m＋（－a）＞n＋（－b）∴m－a＞n－b.【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质例2.已知下列三个不等式①0ab;②cdab;③bcad,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题.【解题思路】以比较法为基础进行变形[解析](1)对②变形0cdbcadabab,由0,abbcad得②成立,∴①③②.(2)若0,0bcadabab,则bcad,∴①②③.(3)若,0bcadacbdab,则0ab,∴①②③.综上所述可组成3个正确命题.【名师指引】注意运用性质时须满足的条件,如ab时,判断ac与bc的大小关系应注意从0,0,0ccc三个方面讨论.【新题导练】.3..若a＜b＜0，则下列不等式不能．．成立的是A.a1＞b1B.2a＞2bC.|a|＞|b|D.（21）a＞（21）b解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a·ab1＜b·ab1，即a1＞b1成立；由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（21）x是减函数，所以（21）a＞（21）b成立.故不成立的是B.答案：B4.已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0能推出ba11成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0ba11，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ.-5-考点3不等式性质综合应用题型1.用比较法证函数的单调性例1.（广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试）已知函数()fx的定义域为,0xxRx且对定义域内的任意1x、2x，都有1212()()(),1()0,(2)1.fxxfxfxxfxf且当时（1）求证：()fx是偶函数；（2）求证：()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2.fx【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法.解析；（1）证明因对定义域内的任意1x、2x都有121212()()(),,1fxxfxfxxxx令，则有()()(1)fxfxf……2分又令121,2(1)(1)xxff得再令121,(1)0,(1)0,xxff得从而于是有()(),()fxfxfx所以是偶函数．（2）设212121110()()()(.)xxxfxfxfxfxx，则221111()()()(),xxfxfxffxx由于21210,1,xxxx所以从而21()0xfx，故1212()()0()(),()(0,)fxfxfxfxfx，即所以在上是增函数．（3）由于(2)1,211(2)(2)(4),ffff所以于是待解不等式可化为2(21)(4)fxf，结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于2214x-6-解得1010,022xxx且．【名师指引】作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发,寻找解题的切入点.题型2.用比较法处理数列中的不等关系.例2.（广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试改编）已知数列{}na满足12nnana，且0na。（1）求数列{}na的通项公式；（2）数列{}na是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性解：（1）由12nnana得2210nnana-由一元二次方程求根公式得24412nnnann∵0na∴1nann(2)解：∵1nann∴1211nnannann(21)(21)(1)(21)(1)(1)nnnnnnnnnnnn121nnnn∵nN,∴121nnnn∴11nnaa，∵0na∴1,nnaanN即1231nnaaaaa∴数列{}na有最大项，最大项为第一项121a。【名师指引】借助于比较法验证数列的单调性进而数列的不等关系是近年高考的热点之一.-7-【新题导练】5.已知)(xf是定义在]1,1[上的奇函数，且1)1(f，若a、b]1,1[，0ba，有0)()(babfaf；（1）、判断函数)(xf在]1,1[上的单调性，并证明你的结论；（2）、若)(xf≤122amm对所有的x]1,1[、a]1,1[恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）、依题意，令21xx，且1x、]1,1[2x，则)()(0)()()(212121xfxfxxxfxf，则函数)(xf在]1,1[上的单调增。（2）、依题意，)(xf在]1,1[上的最大值为1，则1122amm对a]1,1[恒成立，02)(2mmaag对a]1,1[恒成立，202)1(02)1(22mmmgmmg或2m或0m。6.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝1－12bn.(1)求数列{an}、{bn]的通项公式；(2)记cn＝anbn，求证：cn＋1≤cn.解：(1)因为a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d＞0，∴a3＝5，a5＝9，从而d＝9－55－3＝2∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1又当n＝1时，有b1＝S1＝1－12b1，∴b1＝23当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝12(bn－1－bn)∴bnbn－1＝13(n≥2)∴数列{bn}是等比数列，且b1＝23，q＝13∴bn＝b1qn－1＝23n；-8-(2)由(1)知：cn＝anbn＝2(2n－1)3n，cn＋1＝2(2n＋1)3n＋1∴cn＋1－cn＝2(2n＋1)3n＋1－2(2n－1)3n＝8(1－n)3n＋1≤0∴cn＋1≤cn.★抢分频道★基础巩固训练1.如果,,abc满足cba,且0ac,那么下列选项中不一定成立的是()A.abacB.()0cbaC.22cbabD.()0acac解析:由题意知0,0ca,则A一定正确,B一定正确,D一定正确,故选C(当b=0时)2.(2008·吴川一中)对于实数ab、，“()0bba”是“1ab”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：由10()0aabbbabb;反之不成立.选C3.若110ab,则下列不等式