“哥德巴赫猜想”讲义(第20讲)

第1页共8页“哥德巴赫猜想”讲义（第20讲）“哥德巴赫猜想”证明（15）主讲王若仲第19讲我们分析了“哥德巴赫猜想”问题中第（ⅰ）和第（ⅱ）的情形，我们现在接着往下分析：（ⅲ）、现在我们对偶数的所有情形进行全面的分析：⒈在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数，以及筛除集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中的全体奇数，其中（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，我们把集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中全体奇数的总个数记为W个。（a）、当偶数2m中含有奇素数因子p1时，对于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中任一奇数g，奇数（2m-g）仍能被奇素数p1整除，那么在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中只须筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数就可以了。那么由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，这样筛除后集合中剩下的全体奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y1=W-【W÷p1】≥〔W（1-1÷p1）〕。（b）、当偶数2m中不含有奇素数因子p1时，对于集合{p1，3p1，第2页共8页5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中任一奇数g，奇数（2m-g）不能被奇素数p1整除，同时把（2m-p1）看成是奇合数，那么除了在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中要筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数，同时还要在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中筛除属于集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中的全体奇数，又因为集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中全体奇数的总个数与集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中全体奇数的总个数相等；我们令【W÷p1´】表示集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中全体元素的个数，由推论2可知，显然【W÷p1´】=【W÷p1】，那么筛除后集合中剩下的全体奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y1=W-【W÷p1】-【W÷p1´】=W-2【W÷p1】≥〔W（1-2÷p1）〕。⒉在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数，筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体奇数，以及筛除属于{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中的全体奇数，以及筛除属于集合{（2m-p2），（2m-2p2）,（2m-3p2），（2m-4p2），（2m-5p2），…，（2m-m2p2）}中的全体奇数，其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。第3页共8页（a）、当偶数2m中既含有奇素数因子p1又含有奇素数因子p2时，那么在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中只须筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数以及只须筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体奇数就可以了，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，这样筛除后集合中剩下的全体奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y2=W-【W÷p1】-【W÷p2】+【W÷（p1p2）】≥〔W（1-1÷p1）〕-【W（1-1÷p1）÷p2】≥〔W（1-1÷p1）（1-1÷p2）〕；其中为什么要加上【W÷（p1p2）】呢？这是因为在【W÷p1】中就减了一次【W÷（p1p2）】，在【W÷p2】中又减了一次【W÷（p1p2）】。说明多减了一次【W÷（p1p2）】，所以要加上【W÷（p1p2）】。下面类似的情形与此同理。（b）、当偶数2m中不含有奇素数因子p1而含有奇素数因子p2时，在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中只要筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数，筛除属于集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中的全体奇数以及筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体奇数就可以了，我们用【W÷（p1p2)】表示集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∩{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中奇数的总个数，【W÷（p1'p2)】表示集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}∩{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中奇数的总个数，由推第4页共8页论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，【W÷（p1p2）】=【W÷（p1'p2）】，那么这样筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y2=W-【W÷p1】-【W÷p1'】-【W÷p2】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1'p2）】=W-【W÷p1】-【W÷p1】-【W÷p2】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1p2）】=W-2【W÷p1】-【W÷p2】+2【W÷（p1p2）】≥〔W（1-2÷p1）〕-【W（1-2÷p1）÷p2】≥〔W（1-2÷p1）（1-1÷p2）〕；（c）、当偶数2m中含有奇素数因子p1而不含有奇素数因子p2时，同理可得筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y2=W-【W÷p1】-2【W÷p2】+2【W÷（p1p2）】≥〔W（1-1÷p1）（1-2÷p2）〕；（d）、当偶数2m中既不含有奇素数因子p1又不含有奇素数因子p2时，同理可得筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y2=W-2【W÷p1】-2【W÷p2】+4【W÷（p1p2）】≥〔W（1-2÷p1）（1-2÷p2）〕，对于下面的情形同理分析讨论。⒊在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体奇数，筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体奇数，筛除属于集合{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中的全体奇数，以及筛除属于集合{（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}中的全体奇数，筛除属于集合{（2m-p2），（2m-2p2）,（2m-3p2），（2m-4p2），（2m-5p2），…，（2m-m2p2）}中的全体奇数，筛除属于集合{（2m-p3），（2m-2p3）,（2m-3p3），（2m-4p3），（2m-5p3），…，第5页共8页（2m-m3p3）}中的全体奇数，其中（2m1-1）p1为该形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，（2m3-1）p3为该形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。（a）、当偶数2m中既含有奇素数因子p1又含有奇素数因子p2又含有奇素数因子p3时，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【W÷p1】-【W÷p2】-【W÷p3】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1p3）】+【W÷（p2p3）】-【W÷（p1p2p3）】≥〔W（1-1÷p1）（1-1÷p2）（1-1÷p3）〕；（b）、当偶数2m中不含有奇素数因子p1而含有奇素数因子p2又含有奇素数因子p3时，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【W÷p1】-【W÷p1'】-【W÷p2】-【W÷p3】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1'p2）】+【W÷（p1p3）】+【W÷（p1'p3）】+【W÷（p2p3）】-【W÷（p1p2p3）】-【W÷（p1'p2p3）】≥〔W（1-2÷p1）（1-1÷p2）（1-1÷p3）〕；（c）、当偶数2m中含有奇素数因子p1而不含有奇素数因子p2又含有奇素数因子p3时，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【W÷p1】-【W÷p2'】-【W÷p2】-【W÷p3】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p2'p1）】+【W÷（p1p3）】+【W÷（p2'p3）】+【W÷（p2p3）】-【W÷（p1p2p3）】-【W÷（p1p2'p3）】≥〔W（1-1÷p1）第6页共8页（1-2÷p2）（1-1÷p3）〕；（d）、当偶数2m中既不含有奇素数因子p1又不含有奇素数因子p2而含有奇素数因子p3时，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【W÷p1】-【W÷p2】-【W÷p3】-【W÷p3'】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1p3）】+【W÷（p2p3）】+【W÷（p2p3'）】+【W÷（p2p3'）】-【W÷（p1p2p3）】-【W÷（p1p2p3'）】≥〔W（1-1÷p1）（1-1÷p2）（1-2÷p3）〕；（e）、当偶数2m中既不含有奇素数因子p1又不含有奇素数因子p2而含有奇素数因子p3时，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【W÷p1】-【W÷p1'】-【W÷p2】-【W÷p2'】-【W÷p3】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1'p2）】+【W÷（p1p2'）】+【W÷（p1'p2'）】+【W÷（p1p3）】+【W÷（p1'p3）】+【W÷（p2p3）】+【W÷（p2'p3）】-【W÷（p1p2p3）】-【W÷（p1'p2p3）】-【W÷（p1p2'p3）】-【W÷（p1'p2'p3）】≥〔W（1-2÷p1）（1-2÷p2）（1-1÷p3）〕；（f）、当偶数2m中不含有奇素数因子p1而含有奇素数因子p2不含有奇素数因子p3时，由引理5，引理7，引理9，推论1，推论2，推论3，推论4，推论5可知，那么那么筛除后集合中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【W÷p1】-【W÷p1'】-【W÷p2】-【W÷p3】-【W÷p3'】+【W÷（p1p2）】+【W÷（p1'p2）】+【W÷（p1p3）】+【W÷（p1'p3）】+【W÷（p1p3'）】+【W÷（p1'p3'）】+【W÷（p2p3）】+第7