“归一法”及其在初中数学中的应用

1“归一法”及其在初中数学中的应用上海市华东师大一附中实验中学何鋆教，要有一个原则；学，要有一个方法。教师要教学生学会学习，如果能使学生学会一种方法，从而激发学生学习的兴趣，主动地学习，这样有利于学生素质的提高，对学生的一生都有帮助。现实世界中有很多问题需要人们去解决，然而有些问题可以转化为数学问题，如何教会学生去解决数学问题是非常重要的。数学学科是一门基础学科，它的分支很多，解决问题的方法也很多，学生要学会用各种不同的方法去解决各种不同的问题。能不能提出一种方法，这种方法既好记、好用，又能找到解决问题的思路，从而迅速、正确地解决实际问题呢？通过长期的教学实践，笔者设想了一种方法，把它称为“归一法”，这种方法好记、好用，能解决很多实际问题。一、为什么要提出一种方法学生进入初中以后，接触到的数学知识增多了，并且知道了数学学科有代数、几何，到了高中还有要求更高的代数、三角、立体几何、解析几何和微积分，这么多的知识能学好吗？各种不同的分支，各种不同的问题要用各种不同的方法解决，能行吗？如果一开始就提出学好数学只要学会一种方法就行了，并说明这种方法能解决很多各种不同的问题，这样可以在学生心理上产生一种学好数学的自信性，所以提出一种方法是有好处的。二、什么是“归一法”数学的实际问题很多，首先要把解决的问题归结到一种类型的问题。在具体解决问题中会接触到一些数字、变量和图形，解决问题还要进行推理，还要有一种思路。“归一法”就是用较小的数字、较少的变量、较简单的图形，用合理的推理来解决数学问题的一种方法，学会了“归一法”，对于解决数学问题就能找到一条正确的思路，特别对于学生的主动学习有很大的帮助。三、“归一法”的规则在解决具体数学问题中，可以运用的“归一法”的具体规则如下：“宁小不大”、“宁少不多”、“宁同不异”、“宁直不间”、“宁简不繁”。说明：如果在解决具体问题中出现了矛盾，以宁简不繁为主。四、“归一法”的特点1、顺口好记，且有开放性，规则部分，遇到具体的数学问题时，可以根据相对性原理自行添加，如：“宁正不负”、“宁加不减”、“宁单不复”、“宁清不混”等；2、掌握的技巧是学会“转化”，如：把“大”转化为“小”，把“多”转化为“少”，把“异”转化为“同”等。3、便于检验找错，使学生学会迅速、合理、正确地解题。4、可运用于数学和其他学科，学生学会了“归一法”，对总体素质的提高有很大的帮助。五、“归一法”的运用举例例1、计算：229269解：原式=22)234()233(2=2222234233=)43(23222=523=115说明：本题根据“宁小不大”的规则，利用数的分解和提取公因数的方法来解题，因而计算比较简单。例2、已知：△ABC中M为BC的中点，R为CA的延长线上的点，RP∥AM，交BC于P点，交AB于Q点。R求证：PQ+PR=2MA证明：∵RP∥AMA∴MCPCMAPR，BMBPMAPQQ∵M为BC的中点∴BM=MCBPMC∴2MCBCMABPPCMAPQPR∴PR+PQ=2MA说明：本题根据“宁同不异”的规则，把所有的比转化到同一条线段BC上，利用BP、PC，BC、BM、MC的关系得证。例3、已知：△ABC中，∠B=45°，COSA=54，一条边（不是最长边）上的高为23。求：BC的长解：分析：过C点作CE⊥AB，交AB于E∵COSA=54，设AE=4m，则AC=5m由勾股定理得CE=3m，得CEAE，∴∠A∠ACE由∠A+∠ACE=90°，A45°∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB90°即△ABC是钝角三角形，AB最长。解：（1）设：一条边上的高为BC上的高AD，过C点作CE⊥AB，交AB于E∵COSA=54，设AE=4m，AC=5m由勾股定理得CE=3m∵∠B=45°，得EB=3m∴AB=7m，BC=23m∵AD⊥BC，∠B=45°∴AB=2AD=2•23=6,即7m=6，m=76∴BC=23m=23•76=72183解（2）设一条边上的高为AC上的高BD过B点作CD⊥AB，交AB于D，∵COSA=54，设AE=4m，AC=5m由勾股定理得CE=3m，∵∠B=45°，得EB=3m∴AB=7m，BC=23m∵CE⊥AB，BD⊥AD,∠A公用∴rt△AEC∽rt△ADB得BDCEABAC，则BDmmm375∴BD=521mA∵BD=23，∴521m=23，m=725E∴BC=23m=23•725=730BDC说明：本题根据“宁少不多”的规则，按照不同的情况进行讨论来求出结果的。例4、已知：如图，AB为⊙O的直径，过A、B分别作AD和BE二弦交于C点。求证：AC•AD+BC•BE=AB2证法1分析：如果连接AE、BD，再过C点作CF⊥AB，垂足为F点，此时，AB分为两条线段。把AB2写成AB•（AF+FB），得AB•AF+AB•FB，这样，在形式上与结论的左边相同，再用化乘积为比例，由比例找三角形和证明三角形相似，即可得证。证明：连接AE和BD，过C作AB的垂线CF交AB于F（如图）∵AB是⊙O的直径E∴AD⊥BDD又∠DAB为公共角C∴Rt△AFC∽Rt△ADB∴ADAFABACAOFB∴AC•AD=AB•AF①同理Rt△BCF∽Rt△BAE∴BEBFABBC∴BC•BE=AB•BF②①+②得AC•AD+BC•BE=AB•AF+AB•BF=AB2说明：本题的证法根据“宁同不异”的规则，利用形式相同来证明的。证法2分析：如果连接AE和BD，利用AB分别和两个直角三角形的关系，找出AB和有关线段的关系，可以得证。证明：连接AE和BD∵AB是⊙O的直径∴∠E=∠D=90°由勾股定理得222BDADAB)(222CDBCAD222)(ACADBCAD422222ACADACADBCADADACACBC222①ED同理可得222BEAEAB)(222CEACBEAOB222)(BCBEACBE22222BCBCBEBEACBEBCBEBCAC222②由①+②得)(222BEBCADACAB∴2ABBEBCADAC说明：本题的证法根据“宁少不多”的规则，在两个直角三角形中分别找出AB与有关线段的关系来证明的。例5、已知：△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，AD⊥BC，垂足为D。求：AD的长解：设BD=x,则DC=14-x，由AD⊥BC，得△ADB、△ADC均为Rt△.由勾股定理得A152-x2=132-(14-x)2，即225-x2=169-196+28x-x228x=252x=9∴22BDABAD22915BDC14412说明：本题如果用“宁直不间”的规则来做就比较繁，但是用间接设未知数和“归一法”的原理产生了矛盾，此时，就以“宁间不繁”为主。例6、解方程：7312102322222xxxxxxxx解：由原方程可得：1073122322222xxxxxxxx设：kxxxxxxxx1073122322222，（1）若0k，则可得4334xx；（2）若0k，则可得5kxxxxxkxxxxxkxxxxkxxxx341073341223210731223222222222732232234732342322222222xxxxkxkxxkxkxx30973232222xxxxxx由（1）、（2）可得；43x或3x，经检验，均为原方程的解。说明：本题利用)10()73()12()232(2222xxxxxxxx，找到“同”，再利用“分母有理化”的方法，根据“宁同不异”的规则得解的。另外，本题在解的过程中，要注意讨论，不能遗漏0k的情况。例7、已知；一个窗框如图，它的上方为一个半圆，下方为一个长方形，若窗框的周长为l分米，半圆的半径为x分米，窗框的面积为y平方分米，（1）试写出y与x的函数关系式（2）当BCAB∶的值为多少时，y有极大值解：（1）设：xAO，则半圆AD弧长为x，xBC2，22xxlAB则可得2222222xxxlxxylxxxxlx224)2(20lx（2）由2842424222llxylxxy当4lx时，42lBC，42442llllAB。即当21∶∶BCAB时，y有极大值282l平方分米。说明：本题根据所有的线段都与x有关，利用二次函数的关系式中的配方法，根据“宁同不异”的规则得解的。