TU-410布洛赫电子在恒定磁场中电子的运动-54

4.10布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动4.10在恒定磁场中电子的运动：一.恒定磁场中的准经典运动二.自由电子的量子理论三.霍尔效应四.回旋共振讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含磁场的Schrödinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰，但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之作，而这些现象也能成为能带论最有力的实验证据。一.恒定磁场中的准经典运动依然沿用准经典运动的两个基本方程：只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有Lorentz力，磁场对电子的作用和电场不同，它不作功不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时，晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有磁场，先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为。dtdeEkBkvFkkvk)()(1)(表明，沿磁场方向k的分量不随时间而变，即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动；又由于Lorentz力不做功，F⊥v，所以电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动。综合以上两点，可以看出：电子在k空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。一般情形等能线形状是很复杂的。BkdtddtdekBkv)(也可从公式出发直接说明此点：上式表明：磁场作用下，电子在k空间运动，其位移dk垂直于v和B所决定的平面，dk垂直于B，这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的平面内，dk还垂直于v，因为v垂直于k空间的等能面，这意味着dk处在这个等能面内，综合上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转运动，且对磁场而言是反时针旋转。电子沿等能线运动，既不从磁场吸收能量，也不把能量传递给磁场，这与电磁学中电荷和磁场相互作用的规律是一致的。dtedBkvk)()(1)(kkvkE所以，电子在k空间中的运动是循环的，经过一段时间后又回到出发的那一点。按照上式：电子回旋运动周期(推)：v取垂直于磁场的分量。回旋运动圆频率（Cyclotronfrequency)：这里，微分dk是沿回路周边取的，一般情况形状复杂，constEconstEconstEvkdeBkkddtTconstEcvkdeBT22dtdekBkv)(对于自由电子：有：或：电子的运动轨道为圆，如下图在等能线上，k⊥＝const.meBkkmeBvkdeBTconstEc2222)()(BkmedtkdmkkvmkE2)(22k0dtdkkmeBdtdkkmeBdtdkzxyyxmkv)(k磁场作用下自由电子在k空间中的运动轨道是圆。其回旋频率：从前面讨论中可以看出：Bloch电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面的复杂变化，其运动轨迹要复杂得多，因而其旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶，情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：m*是Bloch电子的有效质量.meBc*meBc由上面自由电子的公式可以给出：磁场沿z轴方向，有：（推导）在实空间中，沿磁场方向，vz是常数，即做匀速运动，电子的运动轨迹为一螺旋线。0dtdvvmeBdtdvvmeBdtdvzxyyx实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。回转频率：对于晶体中的电子解为.sincos0000constvtvvtvvzyx2220yxvvvmeB0meB0BvFFvemdtd*1在主轴坐标系中有若磁场方向取在z轴方向，B＝BZ，即可写出其相应的准经典运动方程。这与普通物理中的结果是一致的。zzzyyyxxxFmdtdvFmdtdvFmdtdv***1,1,10**dtdvvmeBdtdvvmeBdtdvzxyyyxx二、自由电子的轨道量子化在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为：当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为A为磁场的矢势，B=∇×A若磁场B沿z方向，则可选取A=(−By,0,0)mpH22221ApemH222ˆˆˆ21ˆzyxppeBypmH由于哈密顿算符中不含x和z，波函数可以写成代入波动方程根据量子力学，H和px、pz有共同本征态。设ψ为其共同本征态，有zzxxkpkpˆˆ对易。及与zipxipHxzˆˆˆ)()()(yezkxkizxrEHˆ)()(212)(2)(22)(2)(212)()(ˆ2120222222222222222222222yyyymymymkEyykeBmeBmymymkEyeBykmymyEykpeBykmczxzxzyx上式是中心位置在y=y0，振动圆频率为ωc的线性谐振子。其中meBcxkeBy0mkEz222解为Nn为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式。相应的能量本征值为即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这种量子化的能级称为朗道能级（Landaulevel）。00002exp)(yymHyymNyynnon,2,1,0,21nncn)()(0)(yyenzxizxkkrcznznmkmkE2122)(2222k公式说明沿磁场方向电子保持自由运动，在垂直磁场的x-y平面上，电子运动是量子化的，从准连续的变为：在这种情况下，电子的能量由准连续的能谱变成一维的分立的磁次能带，每条次能带都成抛物线形状，如右图所示。cn21)(2222yxkkm于是，磁场中的能态密度曲线和磁场为零时的能态密度曲线相比发生了巨大变化，形成了一系列的峰值，相邻两峰之间的能量差是。能态密度变化的这种特点深刻地影响了晶体的物理性质。DeHaas－VanAlphen效应就是这一性质的具体反映。c4.11布洛赫电子在相互垂直的电场和磁场中的运动三、霍尔（Hall）效应将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为Hall效应。。背景知识：E.H.Hall在1879年试图确定磁场对载流导线的作用到底作用于导线上还是（按照现代的说法）作用在导线内的电子上面。“ifthecurrentofelectricityinafixedconductorisitselfattractedbyamagnet,thecurrentshouldbedrawntoonesideofthewire,andthereforetheresistanceexperiencedshouldbeincreased”。Hall没有测出额外的电阻——磁致电阻，但是“Themagnetmaytendtodeflectthecurrentwithoutbeingabletodoso.Itisevidentthatinthiscasetherewouldexistastateofstressintheconductor,theelectricitypressing,asitwere,towardonesideofthewire“Stateofstress”，就是我们现在所熟知的横向电势差（Hall电压，Hallvoltage）我们先采用自由电子模型说明：在如下图所示配置下，导体中电荷e受的洛伦兹力：在-y方向产生电场EH，平衡时应有：BveFBveEexHBvExH在外磁场的作用下，原来在-x方向漂移的电子受到Lorentz力作用发生向下的偏转，电子积累在晶体下（后）表面，产生净负电荷，同时上（前）表面因缺少电子而出现净正电荷，于是，这些正负表面电荷形成了霍尔电场。定义：为霍尔系数（Hallcoefficient）霍尔电场与电流密度和磁场强度乘积成正比，其比例系数为霍尔系数。所以霍尔效应成为测量晶体电子浓度的权威方法。xxvenj)(BjneExH1neRH1BvExH测量了很多金属的霍尔系数，和自由电子论预计的理论计算值相符，但也有一些金属霍尔系数理论和实验值不符（见下页表），甚至符号也相反，存在正电荷导电的判断已在能带论中得到解释。从公式不难看出，载流子浓度越低，Hall系数就越大，霍尔效应就越明显，因此，霍尔效应在半导体的研究和应有中有重要价值，由霍尔系数的测定可以直接确定半导体中载流子的浓度，它的符号可以确定载流子的类型，是电子导电还是空穴导电。半导体的霍尔效应也可以用于磁场测量。当晶体中同时有两种导电载流子存在时，比如能带有交迭，导电电子存在于上面的能带，空穴存在于下面的能带，可以证明其霍尔系数：其中Reσe,，Rhσh分别为电子和空穴各自的霍尔系数和电导率。显然霍尔系数的符号可正可负，取决于电子和空穴贡献的相对大小。这就是有些多价金属（例如Zn,Cd)表现出正霍尔系数值的原因。222hehheeHRRR上述磁场输运过程的讨论中有一个推论值得注意，即x方向的电流本身并不受磁场的影响，其电阻与磁场无关，其原因在于影响x方向电流的Lorentz力与霍尔电场力平衡，相互抵消了，使得电子沿水平方向流经样品时，“无视”该磁场的存在。磁致电阻为零。但实验结果并不是这样，虽然很多金属的磁致电阻都不大，但并不为零。一些铁磁金属还会有较大的数值。近十几年来，发现了一些磁致电阻特别大的材料，并获得了巨大应用。霍尔效应和磁致电阻P186霍尔效应在恒定电场E和磁场B中，自由电子的运动方程m𝑑𝑑𝑡+1τ𝑣=−e(E+v×B)设B平行于z轴，E在xy平面内m𝑑𝑑𝑡+1τ𝑣𝑥=−e(E𝑥+Bv𝑦)m𝑑𝑑𝑡+1τ𝑣𝑦=−e(E𝑦−Bv𝑥)m𝑑𝑑𝑡+1τ𝑣𝑧=0在稳定情况下（时间导数为零）v𝑥=−eτm𝐸𝑥−ω𝑐𝜏v𝑦v𝑦=−eτm𝐸𝑦+ω𝑐𝜏v𝑥v𝑧=0ωc=eB/m：回旋频率；，电子两次碰撞之间的平均自由时间，也就是弛豫时间。霍尔效应•由J=−nev，得到在xy平面内电流密度与电场的关系𝐽𝑥𝐽𝑦=σ01+ω𝑐𝜏21−ω𝑐𝜏ω𝑐𝜏1𝐸𝑥𝐸𝑦σ0=𝑛𝑒2𝜏/𝑚：没有磁场情况下的电导率得到𝐸𝑥𝐸𝑦=1𝜎0ω𝑐𝜏𝜎0−ω𝑐𝜏𝜎01𝜎0𝐽𝑥𝐽𝑦•如果考虑一个位于纵向电场Ex和横向磁场Bz中的棒形样品𝐸𝑦=−ω𝑐𝜏𝜎0𝐽𝑥=−B𝑛𝑒𝐽𝑥Ey：霍尔场EH霍尔效应•定义霍耳角θH的正切函数为霍耳电场EH与平行电流方向电场E∥=E𝑥=1𝜎0𝐽𝑥=m𝑛𝑒2𝜏𝐽𝑥,之比，则tan𝜃𝐻≡𝐸Ｈ𝐸∥=−eτmB•定义霍尔系数为垂直于电流方向的电场分量除以电流密度与磁场的乘积R𝐻=E𝑦𝐵𝐽𝑥=−1𝑛𝑒得到E𝑥=1𝜎0𝐽𝑥=ρ0𝐽𝑥磁场并不改变样品的电阻率，磁致电阻为零。与实验情况不同的原因是自由电子气的漂移速度理论忽略了能带结构双能带模型（磁致电阻）•假定存在两种类型的载流子，每种载流子分别满足下述运动方程m1𝑑𝑑𝜏+1𝜏1v1=−e(E+v1×B)m2𝑑𝑑𝜏+1𝜏2v2=−e(E+v2×B)磁场B平行于z轴，电场E在xy平面内𝐽1𝑥𝐽1𝑦