③第二章二叉树资产组合复制和套利

第二章二叉树、资产组合复制和套利金融数学衍生产品定价的三种方法第一种方法：博弈论方法第二种方法：资产组合复制的方法第三种方法：概率方法或期望价值方法计算：St=100元，在T-t=1年后，ST=90元或ST=120元概率未给定。r=5%，X=105。求股票期权的公平价格？2.1博弈论方法设π0为在时间t=0时资产组合的价值，π0=aV0+bS0为在时间t=1时的资产组合定价。当St120元时→π1=（120—105）a+120b当St90元时→π1=0×a+90b约减随机项选择适当的a和b，使得π1不取决于股价的涨跌结果。即令：（120—105）a+120b=0×a+90b于是得到b=1和a=-2的投资选择，即卖出两股期权同时买入一股股票。期权定价π0=-2V+1×100和π1=-15×2+1×120=90用资金π0以5%进行投资，得到π0e0.05（T-t），该投资的价值和期权π1相等。即π0e0.05（T-t）=（-2V+100）e0.05=π1=90→V=……=7.14套利期权定价V=7.14，即V≤7.14.假设V7.14，例如V=7.25套利者购买一股股票，卖出2股期权，现金流（成本）为100-2×7.25=85.5T=1年后，变为85.5er(T-t)=89.775一年后，股票—期权组合的净值为90元，负债为89.775元，获得利润0.225元假设V7.14,例如V=7，只是采用逆向操作，即买入两股期权而卖出一股股票。现金流为100-2×7=86，无风险投资到年末的价值为86e0.05=90.3在到期时，t=T，股票—期权的成本是90元，可获利93.3-90=0.3元例：设St=20，X=18，T-t=1年，r=10%（年利率）。求期权的价值。(St–Xe-r(T-t))+=20–18e-0.1=3.71即Ct3.71假设Ct=3，套利者购买看涨期权并卖空股票，现金流为20–3=17，用17元投资一年，17元变为17e0.1=18.79.在年末期权到期，若股票价格高于18元，则执行期权，以18元购买股票平仓（还给借股票的人）可获利：18.79–18=0.79元。在年末期权到期，若股票价格低于18元（例如17元），则不执行期权，以17元的价格从市场上购买股票平仓，可获利18.79–17=1.79元。综上，不论在什么情况下，投资者皆可获利，所以市场存在套利机会。博弈论方法——一般公式如果股票处于上升状态Su（下跌状态记为Sd），那么衍生产品价格为U（D），即：设买入1份衍生产品V0和卖出a股股票S0构造资产组合，π0=V0–aS0当上升时，π0=U–aSu当下降时，π0=D–aSd如果令U–aSu=D–aSd→选择又因为资产组合的初始成本为V0–aS0，而资产组合的最终价值为U–aSu由于该资产组合无风险，故有V0–aS0=e-rt(U–aSu)于是得到衍生产品的定价公式：V0=aS0+e-rt(U–aSu)SuSdS0UDV0uadUDVSSS2.2资产组合复制资产组合匹配资产组合π：a单位的股票+b单位的债券，故π0=aV0+b在t=时，股票模型给出资产组合的两个未来价值。上升状态：和下降状态：再令则有结合上面三个表达式可得：SuSdS0UDV0uraSberdaSbeudrraSbeUaSbeD或-ruuuaddUDUDbUSeSSSS，00ruVaSUaSe-r000uuu-r-r-r00uuuurr-r-r0d0uurr0du0uu-r01=(1dduudddduddddUDUDaSbSUSeSSSSSSSSUeeDeSSSSSSSSeSSSeSeUeDSSSSeSSSeSqqSSSSVeqUq或V若取，则资产组合的价值为0)=7.14DV带入上节的数据，即可得到2.3期望价值定价方法如果为负数，那么该股票是一笔好买卖，因为这时未来股票最差表现时的Sd也比债券投资好，是一个稳赚的计划。世界上当然不可能存在这样的好事。而如果为负数，即这时未来股票的最佳表现都不比债券投资好，这同样是不可能的事。所以假设q满足概率条件是现实的，即q称为风险中性概率。r0dudeSSqSSr0deSSrd0u1dSeSqSSr0uSeS-r-r001=(1)VeqUqDeEV如何记忆用来定价的概率只要给出股票的3个参数和利率，利用二叉树即可计算定价的概率。0eq+1)rudSSqS（uSdS0Sq1q2.4概率方法已知股价为100元，将来上涨后价格为120元，下跌时价格为90元，假设观察一年的市场行为。股票上涨的概率P的合理选择实施股票的期望回报大致为15%，相匹配的近似P值为90%，期望回报为E（P）=0.9（120-100）+0.1（90-100）=17元，即每年的期望收益率是17%。如果构造一个含1股股票的资产组合π，那么π1=100元，且1年后，E（π1）=120P+90(1–P)。如果仅以无风险利率投资这100元，则在一年末的价值为100e0.05=105元。由风险中性定理，得到30P+90=105→P=0.5现在以P=0.5来计算看涨期权C，由于执行价格为105元，看涨期权的将来值：E(C)=P(120–105)++(1–P)(90–105)+=0.5×15+0.5×0=7.5于是C=E(C)e-r(T-t)=7.5e-0.05=7.14元2.5风险面对风险的三种态度：回避风险，承担风险，风险管理期权交易商喜欢控制风险或将风险最小化，下面将通过例子来说明这种方法。对冲风险例：某公司股票以60元出售，一年以后的价格用二叉树表示为：X=65元，r=0.048,S0=60,Su=80,Sd=50,=1,U=15,D=0由之前公式，易得【注】交易商的报价为6.35元，卖出看涨期权；6元价格买入。8050S0=60150V0-ruuaadUDbUSeSS，00...6.16ruVaSUaSe一客户以每股6.35元的价格购入100,000股看涨期权。他要通过买股票对冲风险，应买△×100000股股票，其中，因此他以3,000,000的成本买入50,000股股票。注意：他先通过看涨期权收到6.35×100000=635000元，然后以0.048的利率介入3000000–635000=2,375,000元用于购买股票。情形一：股价上升到80元。交易商的股票值80×50000=4000000他欠15×100000=1500000元。赎回看涨期权，2375e0.048=2493750元，赎回贷款，他的最终净头寸为：4000000–(1500000+2493750)=6250元情形二：股价下跌到50元，交易商的股票值50×50000=2500000元，看涨期权无价值，没有负债。但他必须赎回贷款2493750元。于是他的最终净头寸是2500000–2493750=6250元udUDSS二项式期权定价模型Cox,Ross和Rubinstein（1979）首先推导出了二项式期权定价模型。尽管推导此模型设计的数学不深，但模型隐含的经济意义十分重要。在这里，根据期权平价公式，只考虑欧式买入期权定价问题。单期二项式期权定价模型存在两个时刻，时刻0表示现在，时刻1表示将来。用S0表示在0时刻的股票价格，在时刻1股票价格是随机变量。假设有两种状态，价格上涨u倍（u1），或下跌d倍（d1）。设无风险利率为r。如果市场不存在套利机会，则u1+r1d，股票上涨的概率为q。于是股票和期权的价格变化如图所示：uS0dS0S0CuCdCq1-qt=0t=1t=0t=1设行权价格为X，当t=1时，如果股票价格上涨，则期权的价值Cu=max{uS0–X,0}。如股票下跌，期权的价值Cd=max{dS0–X,0}。期权在0是科尔价值为C。现在构造一个组合，选择△（=a）份股票和无风险资产B（=b）份，是该组合复制期权的价值，为此应有：Cu=△uS0+(1+r)B表示在时刻1股票上涨时，资产组合价值等于期权的价值Cd=△dS0+(1+r)B表示在时刻1股票下跌时，资产组合价值等于期权的价值有上面两个方程，得到：根据无套利原则，因为资产组合的价值在时刻1与期权的价值相同，所以在时刻0也应该相同。故有C=△S0+B，代入△、B得到：0(1)udduCCCdCBSudrud111=1udrdurCCCrudud风险性概率如果将（p,1-p）看做一个概率分布，则上式说明期权在0时刻的价格C等于时刻1的价格。对上述分布去期望，然后再以无风险利率折现。注意这里去前往的分布是（p,1-p）而不是原来股票上涨和下跌的概率q。如果原来股票上涨的概率满足：说明此时上涨和下跌的期望值等于无风险资产的价值，因此成p为风险中性概率。1111111=(1)1udrdurrdurppududududCpCpCr注意到，令，则。于是00011rdquSqdSrSqpud→0.1,21,max,0max2421,03,max,0011.10.67,1.20.671=1...2.21261ududXCuSXCdSXrdpudCpCpCr设S=20,u=1.2,d=0.67,r则此时欧式买入期权的价格为例：两期二项式期权定价模型uS0dS0S0CuCdCp1-pt=0t=1t=2uuS0udS0ddS0CuuCudCddt=0t=1t=220020max,0,max,0max,01=2111,111uuduuddduuuuddudddCuSXCCudSXCdSXttpCpCpCpCrr其中如将和看做是单期，则由单期模型定价公式得到：CC显然，p2+2p(1-p)+(1-p)2=1，可将[p2，2p(1-p)，(1-p)2]看成概率分布。上式说明，对于两期模型，期权的价格等于t=2时期权的价值用上述概率分布取其期望后再折现。一般情形（T期）二项式期权定价模型对于T期的情形，如果股票价格有n次上涨，有T-n次下跌，此时期权的价值为max{undT-nS0-X,0}，则用数学归纳法，可证：上式类似于二项式公式，因此将此定价模型称为二项式期权定价模型。期权在0时刻的价格等于在1时刻的价格，用风险中性概率分布取期望，然后再用无风险收益率折现。2221=211(1)uuudddCpCppCpCr进一步得到：001!=1max,0(1)!!TTnnnTnTnTCppudSXrnTn