《3.6第六节简单的三角恒等变换》教案

1/30简单的三角恒等变换适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点利用三角公式进行证明利用三角公式进行化简与求值辅助角公式的应用教学目标能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).教学重点二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点倍角公式的形成及公式的变形2/30教学过程课堂导入前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，也明白了两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，那么二倍角的正弦、余弦、正切公式经过变形能推导出什么公式呢？3/30复习预习1.两角和与差的正弦公式：2.两角和与差的余弦公式：3.两角和与差的正切公式：4.二倍角公式：4/30知识讲解考点1半角公式(1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2：sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2：sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.(3)用sinα，cosα表示tanα2：tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.5/30考点2形如asinx＋bcosx的化简asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.6/30例题精析【例题1】【题干】化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.7/30【答案】(1)22cosα【解析】原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cosαsinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝2cosαsinα＋2cosαsinα·sinαcosα·sinα2cosα2＝2cosαsinα＋2sinα2cosα2＝2cosαsinα＋4sin2α2sinα＝2cosα＋4sin2α2sinα＝21－2sin2α2＋4sin2α2sinα＝2sinα.8/30【例题2】【题干】已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈π2，π，β∈－π2，0，求sinα的值．9/30【解析】∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×－1213＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈π2，π，∴sinα＝3130130.10/30【例题3】【题干】已知函数f(x)＝sin2x－23sin2x＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x∈－π6，π6时，求f(x)的值域．11/30【解析】f(x)＝sin2x＋3(1－2sin2x)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数y＝sin2x＋π3为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(2)∵x∈－π6，π6，∴2x＋π3∈0，2π3，∴sin2x＋π3∈[0,1]，∴f(x)＝2sin2x＋π3＋1∈[1,3]．∴f(x)的值域为[1,3]．12/30【例题4】【题干】(2012·安徽高考)设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋π2＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．13/30【解析】(1)f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝22cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12sin2x故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x，故①当x∈－π2，0时，x＋π2∈0，π2.由于对任意x∈R，gx＋π2＝g(x)，从而g(x)＝gx＋π2＝12sin2x＋π2＝12sin(π＋2x)＝－12sin2x.②当x∈－π，－π2时，x＋π∈0，π2，从而g(x)＝g(x＋π)＝12sin[2(x＋π)]＝12sin2x.综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝12sin2x，x∈－π，－π2，－12sin2x，x∈－π2，0.14/30课堂运用【基础】1．(2013·济南模拟)函数y＝sinxsinπ2＋x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π15/30解析：选B∵y＝sinxcosx＝12sin2x，∴T＝2π2＝π.16/302．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga13(a＞0，且a≠1)，则cos32π＋α的值为()A.1010B．－1010C.31010D．－3101017/30解析：选B∵由题意可知tan(3π＋α)＝13，∴tanα＝13.又∵cos32π＋α＝cosπ2－α＝sinα，∴cos3π2＋α＝－1010.∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－1010.18/303．若cos2αsinα＋7π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()A．－22B．－12C.12D.7219/30解析：选C由已知三角等式得cos2α－sin2α22α－cosα＝－22，整理得sinα＋cosα＝12.20/30【巩固】4．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，则tan(α－β)＝________.21/30解析：∵sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－120，∴0αβπ2.∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74.∴tan(α－β)＝α－βα－β＝－73.答案：－7322/305．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．23/30解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝17250.答案：1725024/30【拔高】6．已知sinθ和cosθ是关于x的方程x2－2xsinα＋sin2β＝0的两个根．求证：2cos2α＝cos2β.25/30证明：因为sinθ，cosθ是方程x2－2xsinα＋sin2β＝0的两根，所以sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β.因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以(2sinα)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β，所以2(1－cos2α)＝1＋1－cos2β，所以2cos2α＝cos2β.26/307．A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0＜θ＜π)，OQ＝OA＋OP，四边形OAQP的面积为S.(1)求OA·OQ＋S的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B的坐标为－35，45，∠AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．27/30解：(1)由已知，A，P的坐标分别为(1,0)，(cosθ，sinθ)．则OQ＝(1＋cosθ，sinθ)，OA·OQ＝1＋cosθ.又S＝2×12|OP|·|OA|·sinθ＝sinθ，所以OA·OQ＋S＝cosθ＋1＋sinθ＝2·sinθ＋π4＋1(0＜θ＜π)．故OA·OQ＋S的最大值是2＋1，此时θ0＝π4.(2)∵cosα＝－35，sinα＝45，且sinθ0＝cosθ0＝22，∴cos(θ0＋α)＝cosθ0cosα－sinθ0sinα＝－7210.28/308．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．29/30解：(1)由题意可知，f′(x)＝cosx－sinx＝－2·sinx－π4，所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin2x＋π4.∵x∈0，π2，∴2x＋π4∈π4，5π4，∴sin2x＋π4∈－22，1.∴函数F(x)的值域为[0,1＋2]．30/30课程小结三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．