《不等式的证明》说课稿

第1页共5页课题：不等式的证明教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第二册（上）说课教师：焦作市第六中学毋秀花各位老师：大家好！我今天说课的课题是《不等式的证明》的第一课时，我将从教材分析、学情分析、目标定位、教学重点难点确定、教学方法与手段、教学设计六个方面来说．一、教材分析１．教材内容《不等式的证明》这一节教材通过七个例题，分别介绍了证明不等式的方法中最常用的三种方法——比较法、综合法、分析法。本节共分五个课时，本节课作为第一课时，重在研究比较法证明不等式。２．教材地位和作用⑴本章教材地位和作用：本章是在学生初中学习了不等式的概念，学习了一元一次不等式，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的基础上，研究不等式的性质、不等式的证明和不等式的解法。不等式与函数、方程、数列、三角、解析几何、导数等内容有密切联系，往往把不等式作为工具来研究这些知识，同时不等式在解决各类实际问题时也有广泛的应用，可见不等式在中学数学中占有重要的地位，是进一步学习数学的基础。⑵本节教材地位和作用：不等式证明既是《不等式》这一章的重点，也是这一章的难点，是在学完不等式的基本概念与基本性质的基础上，对不等式的进一步研究，它是不等式性质的直接应用，也是研究代数证明题的重要工具。作为第一课时重点介绍比较法，在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本最常用的方法。比较法证明不等式过程中所用到的配方、通分、因式分解等方法，都是今后学习中常用的一些技巧，所渗透的化归转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都是学习数学所必须具备的数学思想，所培养的观察、分析问题能力、严密的逻辑推理能力是学生今后学习和工作中必备的数学素养。二、学情分析有利方面：在知识体系上，学生在学习不等式的基本性质与均值不等式及判断函数单调性时，已经渗透了比较法的思想。不利方面：我们学校是普通中学，大部分学生学习态度不积极、学习行为长期处于被动状态，导致不仅基础知识有一定的欠缺，而且思维习惯、思维品质也比较差，这是学习过程中的最大障碍。三、目标定位依据教学大纲与考纲要求，以及上述教材内容分析，结合本班学生的认知水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：１．知识与技能目标：通过本节课的教学，使学生掌握比较法证明不等式的基本原理及一般步骤；学会用比较法证明简单的不等式；进一步掌握运算过程中的变形技能。２．过程与方法目标：通过本节课的教学，向学生渗透化归转化、函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想；培养学生的建模意识及目标意识；提高学生探究、分析与解决问题的能力及逻辑推理能力。３．情感与态度目标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，让学生在学习中获得成功的体验，感受思维的奇异美，数学的严谨美；培养学生严谨的思维习惯和认真的学习态度。第2页共5页四、教学重点、难点确定1．教学重点：比较法证明不等式的基本原理及一般步骤。制定依据：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要让学生“知其然”，而且还要“知其所以然”。数学教学不外乎原理和方法，故比较法证明不等式的基本原理及操作步骤成为教学的重点。突出重点的手段：①提出问题——探究问题——得到原理；②师生总结操作步骤——多个例题的多次训练——掌握操作步骤2．教学难点：证明过程中灵活的变形技巧和符号的准确判定。制定依据：任何一节课的教学重点都是个常数，但教学难点却是个变数，随着教育对象的不同而不同。从学生的认知水平看，学生的目标意识及式子变形能力还有待提高；从知识本身的特点来看，比较法学生在高一及前几节课里虽已接触过，但本节课的教学内容比高一判断函数单调性和前几节课内容要求要高，差的结果不再是简单的式和具体的数，而是多项式和分式等，需要对这些式子进行变形，才能达到判断符号的目的；根据本校学生的实际情况，学生思维能力差，变形技巧不熟练，很难根据题中式子特点，选取恰当的变形方法，达到判别符号的目的，因此确定证明过程中灵活的变形技巧和符号的准确判定为难点。突破难点的手段：“抓一例两点三线，破难点”“抓一例”即抓典型例题，通过不同的例题与学生共同探讨不同的变形技巧。“抓两点”即一抓学生的思维兴奋点，提高学生学习的兴趣，激发学生积极探索、思考，及时鼓励学生，使他们知难而进；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平入手，教师通过创设问题情景积极引导学生思考。“抓三线”即（一）知识技能线：配方——通分——因式分解——函数性质；（二）思想方法线：化归转化思想——分类讨论思想——函数与方程思想——数形结合思想；（三）能力线：观察能力——分析问题能力——逻辑推理能力。五．教学方法和手段1．教法本着“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”的教学思想，我采用问题——探究式教学法，通过教师提出问题，学生自主探究、合作交流解决问题，调动学生的多种感官参与到教学中来。2．学法在教学过程中，本着“教师为迁移而导，学生为迁移而学”的主导思想，通过提出问题，引导学生自主探究、合作交流，让学生在探究问题的过程中，学会知识，学会善于观察、分析、探究的方法，提高逻辑推理能力，领悟化归转化、函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想。3．教学手段本节课采用多媒体、实物投影仪辅助教学，可提高学生的学习兴趣，增强教学的直观性，同时还可节约时间，优化教学设计，提高教学效率。六．教学设计为实现上述教学目标，突出重点、突破难点，我按以下的教学环节展开（一）预习“先行组织者”——自主探究一杯糖水，再加一些糖，糖水就更甜了。（思维能力强的学生做方案一，思维能力差的学生做方案二）预设方案一：问题１：如何用数学知识来反映这一事实呢？问题２：如何从理论上去说明这一事实呢？第3页共5页预设方案二：问题１：用什么能反映糖水甜的程度呢？问题２：加糖前与加糖后糖水中的糖的浓度分别是什么？问题３：如何用数学知识来反映这一事实呢？问题４：如何从理论上去说明这一事实呢？设计意图：我经常在思考，长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，其中的一个重要的原因就是数学离学生的生活实际太远了。事实上，数学学习应该与学生实际生活融合在一起，通过此问题情景，让学生体会到数学知识来源于生活，经过提炼后又高于生活，进而指导学生利用数学来解决实际问题，明确学习不等式的证明的必要性，激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性。另外还可培养学生的建模意识。预设两个方案，针对于班里不同层次的学生用不同的方案，使得每个学生都有思维空间。（二）展示预习成果——汇报交流——引出课题上课一开始出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果，最后得出结论。问题１答案：用数学知识反映这一事实即：(amabmb其中0ab,m0)。问题２答案：从理论上说明即要用数学知识证明不等式(amabmb其中0ab,m0)成立。设计意图：①检查学生预习成果；②揭示本节课的课题——《不等式的证明》。（三）启发诱导、探求基本原理；合作交流、总结操作步骤例1．求证：233xx问题1：233xx的实质是什么？问题2：怎么样比较两代数式的大小？前边学过哪些与比较大小有关的问题？学生可能有下述答案：利用实数大小顺序与实数运算性质之间的关系可比较大小；利用函数性质可比较大小。处理方法：教师提供问题，学生小组讨论，教师点评得到比较法证明不等式的基本原理：000abababababab设计意图：①帮助学生构建思维模式；②引导学生探究比较法证明不等式的基本原理；③揭示本节课的主题——比较法证明不等式。问题3：如何判断“差式”与“0”的大小？处理方法：学生独立完成解题过程，教师用多媒体展示解题过程。学生总结解题步骤：作差——变形——判断差式符号——得出结论。教师强调：用比较法证明不等式时，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的。设计意图：①培养学生的目标意识；②帮助学生构建技能模式；③渗透化归转化的数学思想。问题4：除了用配方法能达到判断“差式”与“0”的大小外，还可以用什么方法判断本题中的“差式”与“0”的大小呢？（当学生思维有障碍时，给予提示：能否用函数方程第4页共5页的思想呢？）设计意图：渗透函数与方程思想、数形结合思想。（四）迁移训练，形成技能求证：22222abab设计意图：①熟练比较法证明不等式的基本原理及一般步骤；②从一元扩展到二元进而提炼出变形的技巧——配方法，以及变形后的结构为一个常数与一个或若干个因式的平方和的形式。（五）多题训练，突破难点例2．已知a、b是正数，且ab，求证：3322ababab设计意图：①帮助学生进一步理解并掌握比较法证明不等式的基本原理与一般步骤；②提炼变形技巧——分解因式，以及变形后的结构为若干个因式的乘积的形式。例３.已知a、b、m都是正数，且ab，求证：amabmb设计意图：①把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服思维疲倦，继续积极思维；②提炼出变形技巧——通分、分解因式，以及变形后的结构为若干个因式的乘积与若干个因式的乘积的商的形式。变式题：去掉ab，结论会怎么样？设计意图：渗透分类讨论的数学思想。（六）课堂练习，巩固原理、步骤与技能练习组一：①求证：2232()abbab②已知0cab，求证：abcacb练习组二：①求证：221ababab②已知abcd、、、都是正数，且bcad，求证：aaccbbdd设计意图：①设计练习是为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果；②设计不同的练习，使不同层次的学生的思维都能得到恰当的训练。（七）总结归纳，加深理解以问题的形式，引导学生从知识、技能、思想方法三个方面总结本节课所学的内容。问题1：本节课学习了那些知识？（让学生通过知识性内容的小节形成知识体系，把课堂教学的知识尽快化为学生的素质。）问题2：本节课学习了那些变形的技巧？以及最终变形结果有什么要求？（通过数学方法技能的小节，加深对技巧的理解，同时深化目标意识。）问题3：本节课用到了那些思想方法？（通过数学思想方法的小节，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。）设计意图：①回顾复习本节课的内容；②培养学生良好的学习习惯；③让学生学会总结。第5页共5页（八）布置作业1．必做题：书面作业：①222abcabbcca②如果ab、都是正数，且ab，求证：664224ababab③如果ab、都是正数，且ab，求证：ababba（思考题1）除了作差法比较大小外，还有哪些方法可以用来比较大小？能否用这些方法来做例2呢？2．选做题：（思考题2）预设方案1：能否构造函数，利用函数的性质来做例3呢？预设方案2：问题1：观察特征00aabb与ambm这两个式子的结构，能否借助于函数的性质来做例3呢？问题2：函数()()axfxoabbx在的[0,)单调性如何呢？设计意图：①巩固本节课所学内容；②为下一节学习比商法证明不等式作铺垫；③让学生体验用函数知识解不等式问题的思想方法；④预设两个方案，使得不同学生都有思维的空间。（九）板书设计§6.3不等式的证明——比较法1．比较法证明不等式的基本原理：000abababababab2．比较法证明不等式的一般步骤：作差——变形——判断差式符号——得出结论设计意图：展示本节课所学的内容，突出基本原理、一般步骤、方法技巧。例1迁移训练变形技巧——配方结果形式——一个常数与一个或若干个因式的平方和的形式例２变形技巧——因式分解结果形式——若干个因式的乘积例３变形技巧——通分、因式分解结果形式——若干个因式的乘积与若干个因式的乘积的商