v阶贝塞尔方程

四川师范大学物理与电子工程学院数学物理方法教案授课用时课题授课对象课型教具20分钟v阶贝塞尔方程物理学大二新授教材教学目的1、掌握正则奇点邻域上的级数解法；（重点）2、知道v阶贝塞尔方程的解形式；（难点）教学重点1、学生已掌握奇点邻域的洛朗展开问题；2、学生已知道在球坐标和柱坐标下通过分离变量法可得到v阶贝塞尔德方程教学方法启发诱导法、讲授法教学过程一、复习引入正则奇点邻域上的级数解若是系数的不高于一阶的极点,且是系数的不高于二阶的极点，即则该点是方程的正则奇点。则在Z0的邻域上，方程存在两个线性独立解，其形式为：或说明：确定系数的方法：将级数解代入方程，合并同幂项，然后令合并后的各系数分别为零，得到系数间的递推关系，最后用已给的初值确定各系数，最后得到确定的级数解。2分钟二、新课教学（1）V阶贝塞尔方程考虑情况,贝塞尔方程的级数解。给定点是方程的正则奇点，,设方程的级数解为：将此级数代入方程，合并同幂次的项，列表后合并，可以得到16分钟()pz()qz0z0012()(),()()kkkkkkpzpzzqzqzz00zzR1100()()skkkwzazz221000()()ln()()skkkwzAwzzzbzz12(1)0ssspq12ss整数2200()()skkkwzbzz00,x整数或半奇数222()0xyxyxy1220ssv1010skssskkkkyaxaxaxax四川师范大学物理与电子工程学院数学物理方法教案由于级数中第一项的系数a0要求不为零，由此得到的即是判定方程。从后面第三个式子开始，得到系数的递推公式为A:)时的解的情况,可得各系数为:由递推公式v阶贝塞尔方程的一个特解为:该级数的收敛半径为无限.通常，取得把这个解称为v阶贝塞尔函数板书推导说明Gamma函数见附录四下一段补充讲解120023242042022101112(22)1!(1)20111(1)4(24)2!(1)(2)211(1)!(1)(2)()20kkkkaaaaaaaaaakka21021()[1()1!(1)21(1)()]!(1)(2)()2kkxyxaxxkk012(1)a201()(1)()!(1)2kkkxJxkk220221222[]0[(1)]0[()]0kksasaskaa222211()()()kkkaaasksksk1sv21(2)kkaakk四川师范大学物理与电子工程学院数学物理方法教案B:)时的解的情况贝塞尔方程的另一个特解为:级数的收敛半径为无限，通常取系数这个解称为v贝塞尔函数由A)、B）得v阶贝塞尔方程的通解是:课堂练习三、小结本小节通过奇点邻域的级数解法，求解了V阶贝塞尔方程得到了v阶贝塞尔方程的通解，即v阶贝塞尔函数。1．5分钟四、作业：P212T2,30.5分钟课后反思1、教学方法：2、教学效果：3、问题：4、解决措施：2s22021()[1()1!(1)21(1)()]!(1)(2)()2kkxyxbxxkk012(1)b201()(1)()!(1)2kkkxJxkk12()()()yxCJxCJx