第四章--环境规划与管理的数学基础

1第四章环境规划与管理的数学基础2第一节环境数据处理方法第二节最优化分析方法第三节常用决策分析方法第四节环境数学模型主要内容3第一节环境数据处理方法一、数据的表示方法和数据特征（一）数据的表示方法项目1991199219931994199519961997SO20.0830.0630.0600.0470.0600.0660.09Nox0.0590.0550.0580.0400.0560.0530.054TSP0.5640.5190.3720.3680.4180.3160.384降水pH值6.66.66.96.66.96.35.6酸雨频率8.58.84.18.63.216.928.8表1某城市环境空气质量年平均值列表法流域名称流域面积（平方公里）人口（亿）GDP（亿元）水资源量（亿吨）废水量（亿吨）COD排放量（万吨）氨氮排放量（万吨）海河32.01.22967437056.9158.415.6淮河33.01.65703191641.2105.812.4辽河31.40.54447349823.358.36.65太湖3.70.36819217731.649.1513滇池0.30.021065.52.44.41.09巢湖1.30.094444.93.77.42.37黄河79.51.07484270725.6111.215.84松花江55.60.543903149216.366.19.3珠江57.80.9813193472387211.828.6三峡库区及其上游79.01.545300431447.3145.650南水北调29.250.994.36合计373.68.015715813207.4335.3918.2154.9全国比例39%63%66%48%76%68%84%各流域特征属性表5城市二氧化硫年均值变化图00.020.040.060.080.10.121990199119921993199419951996199719981999毫克/立方米总平均值南方城市平均值北方城市平均值图示法6七大水系407个重点监测断面中，38.1％的断面满足Ⅰ～Ⅲ类水质要求，32.2％的断面属Ⅳ、Ⅴ类水质，29.7％的断面属劣Ⅴ类水质。其中七大水系干流的118个国控断面中，Ⅰ～Ⅲ类水质断面占53.4％，Ⅳ、Ⅴ类水质断面占37.3％，劣Ⅴ类水质断面占9.3％。各水系干流水质好于支流水质。2003年水质状况715.016.017.018.019.020.019961997199819992000200120022003亿亩年19.5119.4919.4519.3819.2419.1418.8918.5115.016.017.018.019.020.019961997199819992000200120022003亿亩年19.5119.4919.4519.3819.2419.1418.8918.5119.5119.4919.4519.3819.2419.1418.8918.511996—2003年我国耕地变化情况9数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点。通常可分为：位置特征数、离散特征数和分布形态特征数三类。（二）数据特征10(1)算术平均数•式中：x1，x2，…，xn——样本个体数据，n为样本个数，下同。121ninixxxxxnn1.位置特征数11(2)加权平均数如果样本个体数据x1，x2，…，xn取值因频数不同或对总体重要性有所差别,则常采取加权平均方法。加权平均数定义为：式中：wi——个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。11221121niinniwnniiwxwxwxwxx121G1212nnnxxxxxxxH12111111nninnxxxxx(3)几何平均数(4)调和平均数13样本数据依次排列(从大到小或者从小到大)居中间位置的数即为中位数。若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。(5)中位数14maxminkkikniknRxx2.离散特征数(1)级差(全距)(2)差方和、样本方差和样本标准差差方和2222nknnkikkkikixsxxxn152211nkkisxxn样本方差样本标准差211nkkisxxn(3)变异系数sCx上述参数中，方差、标准差及变异系数都是以均值为中心的离散特征参数，尤其以方差的计算与应用最为普遍。x16(1)偏态系数：描述数据频率分布对称特征，反映数据是对称分布或偏向某方向。(2)峰态系数：描述数据分布陡峭程度。31312nkksxxnCnns3.分布形态特征数421422142312(3)3(23)12(3)nkknkkxxnnCnnnsxxnnnnns式中：s——样本标准差17二、异常数据的剔除三、数据的误差分析四、数据的标准化处理环境规划与管理中，常采用下面的公式进行标准化处理：式中：——标准化后对应的数据，（i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n）为一批数据中第i个因子的第j个数据，、分别为第i个因子标准差和平均值。iijijixxusijuijxisixijx18在环境规划与管理中，常常需要采用最优化分析方法。根据环境规划对象的具体特征和规划目标要求将决策问题用一个目标函数和若干个约束条件来表示，求该函数的极值。在一些给定条件（约束条件）下，求所考察函数（目标函数）在某种意义下的极值（极小或极大）问题——数学规划法最优化。第二节最优化分析方法19和经典数学中的极值问题不同，因为环境规划问题来源于实际，一般变量很多，目标函数十分复杂。目前，用于环境规划中的数学规划决策分析方法主要有：线性规划非线性规划动态规划20求代表决策问题的线性函数在线性不等式或等式约束下达到最小(或最大)值的问题。是最基本也是最重要的最优化技术。常用来解决两类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高，二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污染物。线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。一、线性规划(1)线性规划的描述用一组未知量(决策变量)表示规划的待定方案——每组未知量的确定值代表了一个具体方案对于规划的对象，存在若干限制条件——以未知量的线性等式和不等式表示；存在一个目标要求，由未知量的线性函数表示(目标函数)；根据决策规则不同，要求目标函数实现最大值或最小值。(2)函数表达式目标函数:max(min)f=cx约束条件:Ax≤(=≥)b，x≥0221122max(min)Znncxcxcx1111221112122222112212,,,0nnnnmmmnnmnaxaxcxbaxaxcxbaxaxcxbxxx或或或（4—15）（4—16）其数学模型如下，其中式(4-15)称为目标函数；式(4-16)称为约束条件。该模型使优化决策分析过程转化为在约束条件下使目标函数Z取最大值或最小值，即求极值的线性规划过程。式(4-16)右端的b1，b2，…，bm是优化决策分析的约束条件，一般是常数，满足约束条件的x1，x2，…，xn的任何组合，都是数学模型的可行解，使目标函数Z最大或最小的可行解是模型的最优解。23例：单目标——规划区空气质量规划目标最优化(1)决策变量X1、X2、X3、X4分别代表SO2、TSP、CO、NO的浓度(2)目标函数SO2、TSP、CO、NO的权重分别为0.4，0.3，0.1，0.2SO2、TSP、CO、NO的执行标准分别为B1，B2，B3，B4构造目标函数：minf=0.4X1/B1+0.3X2/B2+0.1X3/B3+0.2X4/B4(3)约束条件X1≤B1;X2≤B2;X3≤B3;X4≤B4;X≥0[例4-2]假设一个地区的TSP来源于当地的三个工厂。若工厂1和工厂2燃煤的TSP排放因子为95kg/t(煤)，工厂3的TSP排放因子为85kg/t(产品)。工厂3产量为250000t(产品)/a，工厂1和工厂2的燃煤量分别为400000t/a和300000t/a，为满足环境质量要求，TSP最大允许排放量为17600000t/a，试以最小的治理费用达到环境目标。各种除尘设备去除TSP的效率、可行的除尘方法的相应费用见表4-2、表4-3，表中的费用折合成了单位产品所需金额(元/t)。25总TSP排放量可根据其排放因子和除尘设备净化效率计算，从污染源1的年排放TSP量为：11141521242531323334minZ1.02.02.81.42.23.01.11.21.53.0xxxxxxxxxx1011141595+39+5.7+2.9xxxx总TSP排放量约束为：1011141520212425303132333495+39+5.7+2.995+39+5.7+2.985+34.9+22.1+13.65.117600000(0)ijxxxxxxxxxxxxxx式中从物料平衡可分别列出三个厂的生产力约束为：10111415202124253031323334+++400000+++300000+++2500000xxxxxxxxxxxxx该规划问题的优化模型可写成：27这是一个单目标优化问题，采用单纯形法求解可得最优解:X=(x11，x14，x24，x32)T=(242793，157207，300000，250000)T由结果可知，采用重力沉降室和喷雾洗涤器去除工厂1释放的TSP，采用喷雾洗涤器去除工厂2释放的TSP，采用惯性除尘器去除工厂3释放的TSP，此时用于污染控制的总费用最低：Z=1517207元/a。28•例：围绕某湖泊有1000hm2农田，适宜种植两种农作物。种植农作物a每公顷有0.9kg农药流失到湖中，种植农作物b，每公顷农药流失量为0.5kg。每年流入湖泊的总农药量不允许超过632.5kg。农作物a的收入为300元/hm2，农作物b为150元/hm2。若不考虑种植费用的规模经济性，只取平均费用，据估计，种植农作物a的平均费用为160元/hm2,农作物b为50元/hm2。试确定既能满足流入湖泊农药总量的约束条件，又能使农场主获得最大收益的最佳种植组合。29决策变量为x1和x2，分别是农作物a和b的种植面积(hm2)，年收益Z(元/hm2)为:Z=(300-160)x1+(150-50)x2=140x1+100x2最优化模型为：maxZ=140x1+100x2s.t.0.9x1+0.5x2≤632.5x1+x2≤1000x1，x2≥030在环境系统规划管理中，客观实际中大量复杂的非线性关系，由于精确化需要，不宜直接通过线性关系的模型来描述。如果在规划模型中，目标函数和约束条件表达式中存在至少一个关于决策变量的非线性关系式，这种数学规划问题称为非线性规划问题。二、非线性规划31目前，非线性规划问题常采用数值求解，算法大体分为两类：一是采用逐步线性逼近的思想，通过一系列非线性函数线性化的过程，利用线性规划获得非线性规划的近似最优解；二是采用直接搜索的思想，根据部分可行解或非线性函数在局部范围内的某些特性，确定迭代程序，通过不断改进目标值的搜索计算，获得最优或满足需要的局部最优解。32在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。处理多阶段决策过程的方法；相互联系的多个阶段，上一阶段决策产生的后果成下一阶段决策的前