xmx-06弯曲变形

§6-1工程中的弯曲变形问题研究目的：1.防止过量变形,预防刚度不足而影响其正常工作.1）工程实例1940年11月７日，华盛顿州的塔科马桥，由于桥面刚度太差，在45mph风速的情形下破坏。构件弯曲刚度不足引起的破坏1）工程实例研究目的：2.利用弯曲变形来为生产服务.梁的弯曲变形（DeflectionofBeam）2.转角:截面绕中性轴的转动的角度)(2xf-----转角位移方程—逆时针转为正3.y与的关系:tg=y'∵tg(小变形)CBAxyyB'C'θθP=y'挠曲线1.挠度:梁轴线的竖向位移y—与y轴同向为正)(1xfy-----挠曲线方程梁弯曲变形线位移—挠度角位移—转角§6-2挠曲线的微分方程4.梁的挠曲线近似微分方程挠曲线方程：(任一截面x点的弯矩和曲率的关系)zEIxMx)()(1----（1）1zMEI该公式可推广到非纯弯曲的情况；对于非纯弯曲梁，弯矩是随截面位置变化的，是x的函数；那么梁变形后的曲率半径也是x的函数。-----纯弯曲梁的挠曲线方程θCBAxyyB'C'θP挠曲线O4.梁的挠曲线近似微分方程挠曲线方程：zEIxMx)()(1----（1）3/221''()1'yxy由高等数学知，1,2yQ（小变形,曲线弯曲平缓）,,)(1yx——(2)+1,2y1上任一点的曲率))((1xfy(2)代入(1)zEIxMy)(——(3)可知：M与符号相同y•符号规定MMM0y''0yxzM(x)y=EIM0y''0MMyxzEIxMy)(——(3)（挠曲线近似微分方程）近似性：①略去剪力的影响②略去了项2'y§4.梁的挠曲线近似微分方程积分常数C和D——可通过梁的支承处或某些截面的已知位移条件aaaaaaaaaaaa（积分定解条件）来确定。§6-3.用积分法求弯曲变形zM(x)y=EIdy()()ddzMxxxCxEI()()ddzMxyxxxCxDEI一次积分得：再次积分得：注：当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同时，aaaa梁的近似挠曲线微分方程必须分段表示。aaaa如梁的近似挠曲线微分方程分为n段，则共aaaa有2n个积分常数，需要2n个积分定解条件。1、边界条件积分定解条件梁的边界条件与连续条件确定。（1）在固定铰支座和可动铰支座处，约束条件为挠度等于零：y=0;（2）在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：y=0，θ＝0。边界条件是指约束对于挠度和转角的限制：例1：悬臂梁zyyxx•边界条件：'(0)0,(0)0yyRARBlabPACB例2：简支梁•边界条件：12(0)0,()0yyl例3：具有弹簧约束的简支梁，设弹簧刚度为k•边界条件12(0)0,()-ByRylkRARBlabPACB2、连续条件：在分段的交界处，由于连续性，两段方程在一截面的挠度和转角相等。RARBlabPACB•连续条件1212y(a)=y(a),y'(a)=y'(a)例4：简支梁积分定解条件：例5：具有中间铰链约束的连续梁•边界条件qabACB112y'(0)=0,y(0)=0,y(a+b)=0•连续条件12y(a)=y(a)分析：需要分成两部分，因此有4个待定的积分常数例6：计算图示悬臂梁的最大转角和挠度。已知梁的抗弯刚度为EIz。解：（1)梁的弯矩及边界条件zyyxx2M(x)=-q(l-x)/2•弯矩•边界条件'(0)0,(0)0yyzM(x)y=EI（2)梁的近似挠曲线微分方程2zEIy''=M(x)=-q(l-x)/2（3)积分计算位移'(0)0y由边界条件得：3/6Cql3zEIy'=q(l-x)/6+C一次积分：62l2)3(3xlxEIz-qxy'(a)再次积分得：222z-qxy=(6l-4lx+x)+D24EI0)0(y由边界条件得：0D∴222z-qxy=(6l-4lx+x)24EI(b)'(0)0,(0)0yy（4）计算最大转角和挠度∴222z-qxy=(6l-4lx+x)24EI(b)把x=l代入(a)(b)得：3Cz-qlθ=y'(l)=6EIy4Cz-ql=y(l)=8EI62l2)3(3xlxEIz-qxy'(a)zyyxx解：lPbRAlPaRBxlPbxRxMA)(1(0)xa2()()AMxRxPxa)(axPxlPb()axl1212CxlPbyEIZ11316DxCxlPbyEIZ边界条件:RARB1200,0yyl（）（）1212()(),()()yayayaya连续条件:33222()66ZPbPEIyxxaCxDl2222()22ZPbPEIyxxaCl021DD)(62221bllPbCClaPb例7求梁的挠曲线方程及最大挠度)(62221blxxEIPbyZ])()([632232axblblxxEIPbyZPaby1y2ABC假设ab，极值点在AC段)(39)(322maxlEIblPbyZ220l-bx=,3可以证明，当载荷P向某一支座靠近时，梁内最大挠度的位置趋近于l/=0.577l，很接近梁中点位置。因此，工程中可近似用梁中点位置的挠度代替最大挠度。3假设a=b,极值点在C点)(483maxZEIPly作业（不积分，仅写梁的挠曲线近似微分方程和边界条件与连续条件）6-1，6-2§6-4用叠加法求梁的弯曲变形几个载荷（集中力、集中力偶、分布载荷）共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和。P2ABP1ABP1P2AB=+1、叠加原理适用条件：所求物理量必须与载荷成线性关系。2、叠加法求弯曲变形对于求支座反力、内力等仅使用静力学平衡方程的问题——要求构件满足小变形条件；对于求构件的应力、变形等问题，还涉及应力-应变关系——除小变形条件外，还要求材料服从虎克定律。简单载荷作用下梁的变形，书P172-175解：)(245384)2(5441ZZCEIqaEIaqy)(648)2(432ZZCEIqaEIaPy)(83421ZCCCEIqayyy)(324)2(331ZZAEIqaEIaq)(216)2(332ZZAEIqaEIaq)(65321ZAAAEIqa例1叠加法求梁在C点的挠度yc和在A点的转角A。aaP=qaABqCaaABqCaaABCP=+Ⅰ：Ⅱ：例2求图示悬臂梁的yc组合方法一：增减载荷法qaaqCqaaCaaqCB)(8)2(41ZCEIaqyayyBBC222)(842ZBEIqay)(632ZBEIqa)(2474ZEIqa21CCCyyyqaaABC21CCCyyy)(24412472444ZZZEIqaEIqaEIqa2B2By=+Ⅰ：Ⅱ：qAlB4()8BZqlyEI3()6BZqlEI牵带位移AA先考虑AB段变形，BC段刚性ayyBBC111)(127234231ZZBZBBEIqaEIamEIaPy)(12194111ZBBCEIqaayy)(23221ZZBZBBEIqaEIamEIaP再考虑BC段的变形(AB段刚性))(842ZCEIqay)(2441421ZCCCEIqayyyqaaABC1By1CyBaaAC1B2CyCaaAB组合方法二：逐段刚化法=+例2求图示悬臂梁的ycⅠ：Ⅱ：BPBmPB))(6(62xaxEIqdxdyZC)(244142ZaaCCEIqadyy组合方法三：等价积分法积分得：qaaABCqaaCxqdxdx例2求图示悬臂梁的yc先取微分长度，形成微集中dP=qdx，CaABFl2(3)()6CzFaylaEI思考：若已知3BPay=()3EI2BPa=()2EI例3求图示简支梁的yC4l4l4l4lPABCEI2EICACyyPABCCy2P2P组合方法四：等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载)分析：由于对称，梁在C点的转角为0，可以视为一悬臂梁在C点固定，在A点受集中力作用。A点所产生的位移恰好与C点的位移数值相同。2PACACy一般已经给出悬臂梁受集中力(力偶)作用所产生的位移和转角，即：3BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAP=+2BMay=()2EIBMa=()EIBaAM2PAaa2PAaaM=a*P/22PAaa2EIEIDCDCDCABABP=+组合方法五：利用对称性数学上，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式:[F]=[F]symm+[F]antisymm对于轴对称的结构,力也可以同样分解.例如：P/2P/2P/2P/2ABP/2P/2解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。在反对称力(P/2)作用下，yc（反对称）=0在对称力(P/2)作用下，yc（对称）=yc对称力作用的简支梁，采用等价悬臂梁法，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用的问题。B2/aC2PD2/a2P例4：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度ycaABPaa/2C=+P/2P/2P/2ABCa/2a/2a/2a/2P/2ABCa/2a/2a/2a/23BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAP中截面的的挠度yc可以用悬臂梁端部的挠度yB表示。B2/aC2PD2/a2P3233()()()2222232231196BPaPaPaayEIEIEIPaEI挠度转角挠度3BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAP311-96CByyPaEI作业用叠加法求弯曲变形6-3，6-4，6-9§6-5静不定梁与拉压杆件静不定问题的解题方法类似，平衡方程变形协调方程,物理方程或称本构方程。解静不定梁基本步骤：2、受力分析，建立平衡方程3、针对原冗余约束条件，建立变形协调方程4、按照弯曲变形的公式建立物理方程1、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静定结构。（注意：基本静定结构的形式并不唯一。）6、联立求解平衡方程、补充方程，解得约束反力5、联合变形协调方程、物理方程，得到补充方程补充方程例8求:梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l。BAlq。。。3BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAPqAlB4()8BZqlyEI3()6BZqlEI2、平衡方程:YA+YB-ql=0XA=02ABqlM+Yl-=02BMAYAXAYBAlq解：1、选B处为多余约束4、物理方程：3、变形协调方程：yB=yB(q)+yB(YB)=0yB(q)=ql4/（8EI）（↑）yB(YB)=-YBl3/（3EI）（↓）lyB(YB)BYBABMAYAXAYBAlqyB(q)Blq=+。。。5、补充方程：ql4/（8EI）=YBl3/（3EI）YB=3ql/86、平衡方程、补充方程联立求解YA+YB-ql=0XA=0得出：YB=3ql/8,XA=0,MA=ql2/8YA=5ql/8,BMAYAXAYBAlq2ABqlM+Yl-=02。。。ql4/（8EI）=YBl3/（3EI）BAlq。。。3BPay=()3EI2BPa=()2EIBaAPqAlB4()8BZqlyEI3()6BZqlEI思考：求:梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l。BaAPBaAP2(3)6PxyaxEIlABMx22()6MxylxlEIABq323(2)24qxyllxxEIlxyyxyyB=yB(q)+yB(YB)=0yB(YB)=YBl3/（3EI）（↑）lBxqdxdxA()Bdyq2223()(3)()62()26Bqdxxqdxx