新浙教版九年级下册知识点及典型例题

1九年级下册第一章解直角三角形一、锐角三角函数（一）、基础知识1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=ca,（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cosA=cb,（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tanA=ba，这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。3、锐角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函数：00300450600sinα0212223cosα1232221tanα03313二、勾股定理2、勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。3、勾股定理的数学表达;若三角形ABC为直角三角形，∠A，∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=∠90，则222cba,反之，已知a,b,c为三角形ABC的边。若222cba,则三角形ABC为直角三角形。2６０ＯＡＡＢＡＭＡ东典例：1.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦（）A、都扩大2倍B、都扩大4倍C、没有变化D、都缩小一半2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=54，则cosB的值等于（）A．53B.54C.43D.553.在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则cosB的值为（）A．12B．22C．32D．334.在RtABC中，C=90º，A=15º，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：MB等于（）A、2：3B、3：2C、3：1D、1：35.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中()同学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面夹角40º45º60ºA、甲的最高B、丙的最高C、乙的最低D、丙的最低6..如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（）Ａ．km27Ｂ．km214Ｃ．km7Ｄ．km147、084sin45(3)4=8、锐角A满足2sin(A-150)=3,则∠A=.9、已知tanB=3，则sin2B=.10、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．11.如图，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin．ABCDαA1l3l2l4l3DCBA②①ABCD12.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173.）．13.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长．4ACDBEFG15、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物CD的高度．16、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．17、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5第二章直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系无交点；有一个交点；有两个交点；drd=rrd切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可直线和圆位置关系的判定：①依据定义②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系圆的切线的判定：（5）定义②依据d=r③用判定定理——圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA圆的外切四边形两组对边和相等弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角一、选择题1.⊙O的直径是3，直线l与⊙0相交，圆心O到直线l的距离是d，则d应满足()A.d3B.1.5d3C.O≤d1.5D.dO2.在平面直角坐标系中，以点（2,l）为圆心、1为半径的圆必与（)A.x轴相交B.y轴相交C.x轴相切D.y轴相切3.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2-3x+2=0的两个根，则这两个圆的位置关系是（)A．外离B．外切C．相交D．内切NMAOPBAO64．已知⊙O1与⊙O2内切，它们的半径分别为2和3，则这两圆的圆心距d满足（）（A）d=5（B）d=1（C）1＜d＜5（D）d＞55．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=3，OA=4，则cos∠APO的值为（）（A）34（B）35（C）45（D）436.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC=3、PB：AB=1：3，则⊙O的半径等于（）A．25B.3C.49D.297．已知正三角形的内切圆半径为33cm，则它的边长是（）（A）2cm（B）43cm（C）23cm（D）3cm8．已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘米，且和这两圆都相切的圆共有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个9.如图，AD、AE分别是⊙O的切线，D、E为切点，BC切⊙O于F,交AD、AE于点B、C，若AD=8.则三角形ABC的周长是（）A.8B.10C.16D.不能确定10.要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是（）A.36B.72C.80D.100二、填空题1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，则∠ABO=.2．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径为cm．3.两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是.4．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．若点M在OB边上运动，则当OM=cm时，⊙M与OA相切．5．①OC是⊙O的半径；②AB⊥OC；③直线AB切⊙O于点C．请以其中两个语句为条件，一个语句为结论，写出一个真命题．6、如图，施工工地的水平地面上有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是.三、解答题1．如图△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，以AB为直径画⊙O，延长AB到D，使BD等于⊙O的半径．求证：CD是⊙O的切线．72.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD∥OC（1）求证：△ADB∽△OBC（2）若AB=2，BC=5，求AD的长（结果保留根号）3.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（A）如图，求证：△ADE∽△AEP；（B）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（C）当BF＝1时，求线段AP的长.4.8VSh底高第三章三视图和表面展开图1.多面体与旋转体：多面体棱顶点.旋转体轴.2.棱柱：直棱柱斜棱柱正棱柱棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。3.棱锥：棱锥的底面或底顶点侧棱正棱柱斜高（1）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（2）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。4.圆柱与圆锥：圆柱的轴圆柱的底面圆柱的侧面圆柱侧面的母线5.棱台与圆台：统称为台体（1）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.（2）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.6.球：球体球的半径球的直径.球心7.简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.（二）空间几何体的三视图和直观图1.中心投影平行投影正投影2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系'''xoy，两轴夹角为45；平行于x轴长度不变，平行于y轴长度减半。（三）空间几何体的表面积和体积1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图2.柱体、锥体、台体表面积体积公式，球体的表面积体积公式：几何体表面积相关公式体积公式棱柱2SSSSlc侧全底侧侧棱长直截面周长，其中棱锥SSS侧全底13VSh底高棱台SSSS侧全上底下底1('')3VSSSSh圆柱222Srrh全2Vrh圆锥2Srrl全（r：底面半径，l：母线长）213Vrh9展开图与三视图练习1．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是（）A．中B．钓C．鱼D．岛2．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（）A．建B．设C．和D．谐3．一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个