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1.1证明3不是有理数。证明:假定3是有理数,则存在,,1nZmNnm,使得3nm3mn223mn。因此n是3的倍数,可以设3nk,故2233km223mk。违背了,nm最大公约数为1的假设。1.2若数列nx收敛,则nx有界。证明:nx收敛,故假定limnxxM。根据收敛定义可知,对,N,当nN时,nxMnxM。故nx为有界数列。1.3若nx是基本列,则存在子列knx,使11,1,2,.kknnxxkk证明:因为nx是基本列,根据Cauchy收敛准则nx收敛。假定nxa,则nx子列knxa。则对,K,当kK时,有knxa。取12k,故有12knxak,112knxak,而111kkkknnnnxxxaxak,得证。1.4数列nx收敛nx的每一个子列收敛到相同的极限。证明:nx收敛,假定limnxxa,根据收敛定义可知,对,N,当nN时,nxa。若knx是nx的一个子列,则当kN时,有knkN成立,故knxa,因此可以得出knx收敛到a。由knx的选取任意性可知nx的每一个子列收敛到相同的极限。反证法。假设nx的每一个子列收敛到相同的极限a,则若nx不收敛到a,则0,使得对k,kn满足knxaknx不收敛到a,与假设矛盾,故假设不成立。1.5设1|1+nExxn是的上界,证明E中存在最小数。证明:根据1lim(1)nnen及函数11xfxx为单调增函数可以证明结论。1.6设A是非空实数集,则存在单增数列nxA,使supnxA。证明:1若supA,则显然存在单增数列nxA,使supnxA。2若supAM,则对1n,nxA,使得1nxMn成立;又对nxA,均有nxM,故1nMxMnnx收敛到M,即存在单增数列nxA,使supnxA。1.7证明在nR中,坐标都是有理数的点构成的集合是可数集。证明:12R空间中,将全体有理数排成一列12,,,,nrrr,则2R上的有理数点1,;,jjQQrsrQsQA,其中,,,j1,2,,n,jijArri为可数集,根据定理可数多个可数集之并是可数集可知2Q是可数集。2对nR空间,可以利用归纳法,设kkQQQQ是可数集,则要证明1kkQQQ是可数集。将Q中有理数点排成一列12,,,,nrrr,将kQ中有理数点排成一列12,,,,nlll,则11kkjjQQQA,其中,,,j1,2,,n,jijArli,同样,根据定理可知1kQ是可数集结论。1.8若A是可数集,则A的子集最多是可数集。证明:A是可数集,则A可能是有限集或无限可数集。1若A是有限集,则其子集为有限集,必可数;2若A为无限集,不妨设12,,,,nAxxx,其子集是nx的一个有限或无限个子数列构成,仍然可以无遗漏的有序排列,仍然是可数的,结论。1.9单调函数的不连续点所构成的集合最多是可数集。证明:假定单调函数为fx,其不连续点必为跳跃间断点。设不连续点为ix,limiixxfxy,limiixxfxy,故iiyy。因此对于任一个不连续点均有一个开区间,iiyy与之对应。设xx,设0,使得xx。对,xxx,,yxx,有fxfy。故limlimxxxxfxyyfx,,yyyy。故fx上的间断点集合A与R上的一族互不相交的开区间11对应,故A可数。1.10若A是可数集,则A的所有有限子集所构成的集合是可数集。证明:方法一:不妨设AN,对N的任一有限子集12,,,mnnn,令111112,,,101010mmnnnnnmnnn,当有限子集不同时,其对应的自然数也是不同的,即N的所有有限子集所构成的集合与N的某一个子集形成11对应,故可数。方法二:根据1-7的证明知,mmmNQQQQQ为有理数可数。由于A为可数集,故m个由A中一个元素构成的集合1,AaaAN,故1A是可数集。同理推知,A中m个元素构成的集合1,,,,1,2,mmmimAaaaAimNNNN为可数集。而可数多个可数集之并1mmA是可数的。1.11若A是可数集,则A的所有子集所构成的集合是不可数集。证明:反证法。令A中的所有子集的集合为M,假设M为可数集,而A也是可数集,故AM。则对aA,均可在M中找到一元素,也即A的子集与之对应aaA。定义集合|,xExxAxA,即E中任意元素均不在它所对应的M中的子集元素中。EAEM。则eA,使得eE对应有两种情况,1eE,则显然不成立。2eE,则又与E的定义相符,故与之矛盾。故得证。(康托尔定理:用PX表示X的一切子集构成的集,用cardX表示X的势,有cardXcardPX,故不能与之一一对应,可得证。)1.12试给出,ab与,ab的一个11对应关系。答:(连续函数是不能改变区间的开闭性的)令|,1,2,2nbaAxxan,BAa,CBb,则,Bab,,Cab。建立CB的11映射gx为12,1,2,22nnaxabagxaxbbabaaxan令gxxCfxx其他,则可建立,ab与,ab的一个11对应关系。1.13若P表示所有正有理数组成的集合,试求P的边界与导集。答:1根据边界的定义结合有理数,无理数的稠密性可以得知P的边界0PR;2根据导集的定义及实数的稠密性可以推出导集0PR。1.14证明:对任意数集A,A是闭集,AA是开集。证明:1假设xA,根据定理1.4.3可知,nxA,nxx,使nxx。则对0,N,当nN时,nxxnxxx。又因为nxA,故xAx。由的任意性可知必存在xA。(若不然,即xA,则xA或CxA,则必0,使得xAx,与之矛盾。)因此AAA是闭集。2若A是闭集,则AA显然是开集;若A是开集,根据定理1.4.6可知AA是开集。证毕。1.15设fx是R上的实连续函数,则对任意的R,|,xfxxR是开集,|,xfxxR是闭集。证明:1任意取0|,xxfxxR,则0fx。由于fx是R上的实连续函数,根据连续函数性质可知,0,使得当0xx时,fx,故可得0|,xxfxxR。根据开集定义可知|,xfxxR是开集。2取|,nxxfxxR,则nfx。令0nnxx时,则根据函数的连续行可知0fx,而0x为极限点,故0|,xxfxxR。根据闭集定义可知|,xfxxR是闭集。1.16判断下列结论的正确性,并给出理由:(1)任意多个闭集之并是闭集。(2)数列nx收敛数集nx有极限点。(3)连续函数将闭集映成闭集。(4)数集的边界点总是它的极限点。答(1)错。例如闭集10,1,1,2,nn的并集110,1nn为0,1并非闭集。(2)错。数列1111,,1,,1,234并不收敛,但是它的数集1111,,,234具有极限点。(3)错。NR,函数为1n,映射结果为1111,,,234并非闭集。(4)错。数集1111,23nNn极限点为0,但是边界点很多,并非极限点。
本文标题:实变与泛函第一章答案
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