北师大版高中数学必修1-知识点总结

WORD格式专业资料整理高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB(1)AA子集（或A中的任一元(2)AA(B)BA素都属于BBA)若AB且BC，则或(3)ACWORD格式专业资料整理1WORD格式专业资料整理(4)若AB且BA，则AB（1）A（A为非空子ABAB，且B集）真子（或B中至少有一(2)若AB且BC，则集A）元素不属于AACA中的任一元集合素都属于B，(1)ABABB中的任一元相等(2)BA素都属于ABAA(B)（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名记意义性质示意图称号（1）AAA（2）A交AB{x|xA,且集x（3）ABAB}ABABB⑷Α?B?A∩B=A（1）AAA并AB{x|xA,或集（2）AAxB}（3）ABAABWORD格式专业资料整理2WORD格式专业资料整理ABB⑷A?B?A∪B=B⑴（?uA）∩A=?,补?uA{x|xU,且x⑵?uA∪A=U,A}集⑶?u?uA=A,⑷?uA∩B=?uA∪?uB,⑸?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB)⑼集合的运算律：交换律：ABBA;ABBA.结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)分配律:A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU等幂律：AAA,AAA.求补律：A∩?uA=?A∪CuA=U?uU=??u?=U反演律：?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB)?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。二、函数1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作.2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有、、。3WORD格式专业资料整理§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：①已知函数的解析式，就是.②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：①形如y＝1，可采用法；②y＝2x1(x2)，可采用法或法；③y＝2x23x23a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－1x，可采用法；⑤y＝x－1x2，可采用法；⑥y＝sinx2cosx可采用法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、x2时，①都有，则称f(x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；②都有，则称f(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为.2．判断单调性的方法：(1)定义法，其步骤为：①；②；③.WORD格式专业资料整理4WORD格式专业资料整理(2)导数法，若函数y＝f(x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f(x)在这个区间上是增函数；②若，则f(x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)函数；2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若f(x),g(x)的单调性相反，则f[g(x)]为.5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.§4函数的奇偶性1．奇偶性：①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现f(xa)f(x)、或f(xa)f(x)m（a、m均为非零常数，a0），都可以得出f(x)的周期为；②yf(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或yf(x)的图象关于直线xa,xb轴对称，均可以得到f(x)周期第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数§2指数扩充及其运算性质5WORD格式专业资料整理1．正整数指数函数函数y＝ax(a0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a0，且a≠1)的函数称为________函数．2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，nmmm存在唯一的正实数b，使得b；＝a，我们把b叫作a的次幂，记作b＝annmnama(2)正分数指数幂写成根式形式：an＝0)；(规定正数的负分数指数幂的意义是：ma，m、(3)an＝__________________(0n∈＋，且n；N1)(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质(1)aman＝a0)；________((2)(amn＝________(a；)0)(3)(abn＝a，b0)．)________(0§3指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．x2．指数函数y＝a(a0，且a≠1)的图像和性质a10a1图像定义域R值域(0，＋∞)WORD格式专业资料整理性过定点过点，即x＝时，y＝______________6WORD格式专业资料整理质函数值当x0时，；当x0时，________；______的变化当x0时，________当x0时，________单调性是R上的________是R上的________§4对数(二)1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，则：(1)loga(MN)＝________________；(2)log(3)logMaN＝________；naM＝__________(n∈R)．2．对数换底公式logaNlogbN＝logab(a，b0，a，b≠1，N0)；特别地：logab·logba＝____(a0，且a≠1，b0，且b≠1)．§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把．叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是为常用为自然对数函数________________对数函数；y＝.________2．对数函数的图像与性质定义y＝logax(a，且a≠1)0底数aa101图像定义域______值域______单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图像过点______，即log1＝0WORD格式专业资料整理a函数值x∈(0,1)时，x∈(0,1)时，7WORD格式专业资料整理特点y∈______；y∈______；x∈[1，＋∞)时，x∈[1，＋∞)时，y∈______.y∈______.函数y＝logx与y＝log1x的图像关于______对称对称性aa3.反函数对数函数y＝logax(a0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章函数应用§1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．3．方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有________?函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．1.2利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a，b]，使____________．(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)．WORD格式专业资料整理8WORD格式专业资料整理①若f(x1)＝0，则________________；②若f(a·f(x1)0，则令b＝x1(此时零点x0∈a，x1；)())③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1(此时零点x0∈x1，b．())(4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．WORD格式专业资料整理9