Dirichlet积分的计算方法

[基金项目]长江大学精品课程（概率论与数理统计）[作者简介]赵天玉（1958-），男，河南辉县人，1981年大学毕业，硕士，教授，现从事数学教学与研究工作.第1页(共4页)Dirichlet积分的计算方法赵天玉（长江大学信息与数学学院，湖北荆州434023）[摘要]著名的Dirichlet积分在物理学等领域有广泛的应用．本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet积分的六种方法．[关键词]Dirichlet积分；Fourier变换；Laplace变换；广义函数TheCalculationMethodofDirichletIntegralZHAOTian-yu(SchoolofInformationandMathematics,YangtzeUniversity,Jingzhou,434023,China)AbstractThefamousDirichletintegraliswidelyusedinphysicsandotherfields.Inthispaper,theintegraltransformasaresearchtool,usingthemethodsofmathematicalphysics,sixkindsofcalculationmethodsforDirichletintegralisgiven.KeywordsDirichletintegral;Fouriertransform;Laplacetransform;Generalizedfunction积分0sin2xdxx是著名的Dirichlet积分，在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1]．因为该积分收敛非绝对收敛，被积函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿－莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题．文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识．在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题．本文首先综述了计算Dirichlet积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet积分四种新方法．1含参变量积分方法我们知道，含参变量积分0sin()(0)pxxFpedxpx（1）110000coscospxpxexydydxdxexydy第2页(共4页)由于cospxpxexye，积分0pxedx收敛，由WeierstrassM判别法，含参变量积分0cospxexydx在[0,1]上一致收敛．由于cospxexy在[0,)[0,1]上连续，根据积分顺序交换定理[4]，11220001()cosarctanpxpFpdyexydxdypyp．又由阿贝尔(Abel)判别法知，积分（1）在0p时一致收敛，根据连续性定理[4]，()Fp在0p时连续，故000sin1(0)lim()limarctan2ppxdxFFpxp2围道积分方法设()izefzz，12,LL分别是实数轴上[,]Rr与[,]rR线段，,rRCC分别是以原点为圆心，以r与R为半径的上半圆周，是如图1所示的积分路径．由Cauchy-Goursat定理知，()0fzdz，即12()()()()0RrLLCCfzdzfzdzfzdzfzdz（2）经化简12sin()()2RLLrxfzdzfzdzidxx，由小圆弧引理[5]，0lim()rrCfzdzi，由Jordan引理[5]，lim()0RRCfzdz．在式（2）两边令0,rR，并整理得：0sin2xdxx3Fourier变换方法图1围道积分路径第3页(共4页)设1,1;()0,1.tftt，则它的Fourier变换为[()]()jtFftftedtsin2()F．当1t时，有11()[()]()2jtftFFFed02sincostd，特别取0t得：0sin2d．4能量积分方法设()ft在Fourier变换下的象函数为()F，则有221[()]()2ftdtFd（3）式（3）称为Parseval等式[6]，其中2[()]ftdt称为()ft的能量积分.将上文中Fourier变换方法的()ft和()F应用在式（3）中，可以得到220sin2d．又由分部积分法，220sind00sin2sinudduu，故0sin2uduu．5Laplace变换方法设()sinftt，则它的Laplace变换为0[()]()stLftftedt211s()Fs．又0sinlim1ttt，()arctan2sFsdss，由Laplace变换象函数的积分性质[6]，有sintLt()arctan2sFsdss，特别取0s得：0sin2tdtt．6广义函数方法单位脉冲函数()t也叫狄拉克(Dirac)函数，简称函数，它是一个广义函第4页(共4页)数，是弱收敛函数序列的弱极限[6]，即对于任何一个无穷次可微的函数()ft，有sin()()lim()(0)ttftdtftdtt（4）在式（4）中特别取()1ft，由函数的筛选性质知，左边()1tdt，右边积分中作换元变换ut得：0sin1sin2sinlimlimtuudtdudutuu．故0sin2uduu.参考文献[1]梁昌洪．复变函数札记[M]．北京：科学出版社，2011．[2]匡继昌．Dirichlet积分九种解法的思路分析[J]．高等数学研究，2012，15(4)：62~66.[3]张瑰，张梅.对Dirichlet积分的几种简便证明[J]．高等数学研究，2005，8（4）：28~29.[4]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001.[5]姚端正，梁家宝．数学物理方法[M]．第二版.武汉：武汉大学出版社，1997．[6]张元林．积分变换[M]．第四版.北京：高等教育出版社，2003．