2019高考全国卷一理科数学试题及答案高清版

绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合Mtx|
4ăxă2u，N␣x|x2
x
6ă0(，则MXNtx|
4ăxă3uA.tx|
4ăxă
2uB.tx|
2ăxă2uC.tx|2ăxă3uD.2.设复数z满足|z
i|1，z在复平面内对应的点为px;yq，则px1q2y21A.px
1q2y21B.x2py
1q21C.x2py1q21D.3.己知alog20:2，b20:2，c0:20:3，则aăbăcA.aăcăbB.căaăbC.băcăaD.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是?5
12(?5
120:618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是?5
12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是165cmA.175cmB.185cmC.190cmD.全国一卷试卷类型：B5.函数fpxqsinxxcosxx2在r
p;ps的图像大致为Oxy1Oxy1A.B.Oxy1Oxy1C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“

”右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是516A.1132B.2132C.1116D.7.已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且pa
bqKb，则a与b的夹角为p6A.p3B.2p3C.5p6D.8.右图是求121212的程序框图，图中空白框中应填入A12AA.A21AB.A112AC.A112AD.12A1k2k1kk开始结束A输出否是9.记Sn为等差数列tanu的前n项和.己知S40，as5，则an2n
5A.an3n
10B.Sn2n2
8nC.Sn12n2
2nD.10.已知椭圆C的焦点为F1p
1;0q，F2p1;0q，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为x22y21A.x23y221B.x24y231C.x25y241D.11.关于函数fpxqsin|x||sinx|有下述四个结论：fpxq是偶函数fpxq在区间
p2;p 单调递增fpxq在r
p;ps有4个零点fpxq的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③12.己知三棱椎P
ABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，=CEF90，则球O的体积为8?6pA.4?6pB.2?6pC.?6pD.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y3x2xex在点p0;0q处的切线方程为.14.记Sn为等比数列tanu的前n项和.若a113，a24a6，则S5.15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16.己知双曲线C：x2a2
y2b21paą0;bą0q的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若ÝÑF1AÝÑAB，ÝÑF1BÝÑF2B0，则C的离心率为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设psinB
sinCq2sin2A
sinBsinC.（1）求A；（2）若?2ab2c，求sinC.②④①③18.(12分)如图，直四棱柱ABCD
A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，=BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN{{平面C1DE；（2）求二面角A
MA1
N的正弦值.ABCD1A1B1C1DNME19.（12分）己知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（1）若|AF||BF|4，求l的方程；（2）若ÝÑAP3ÝÑPB，求|AB|.20.（12分）已知函数fpxqsinx
lnp1xq，f1pxq为fpxq的导数.证明：（1）f1pxq在区间

1;p2 存在唯一极大值点；（2）fpxq有且仅有2个零点.21.（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得
1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和b，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pipi0;1;;8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi
1bpicpi1pi1;2;;7q，其中aPpX
1q，bPpX0q，cPpX1q.假设a0:5，b0:8.（i）证明：tpi1
piupi0;1;2;;7q为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$'''&'''%x1
t21t2y4t1t2（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2rcosq?3rsinq110.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：（1）1a1b1cďa2b2c2；（2）pabq3pbcq3pcaq3ě24.绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.C3.B4.BDA7.B8.A9.A10.BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.y3x14.121315.0.1816.2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.解：(1)由已知得sin2Bsin2C
sin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2
a2bc.由余弦定理得cosAb2c2
a22bc12.因为0ăAă180，所以A60.(2)由（1）知B120
C，由题设及正弦定理得?2sinAsinp120
Cq2sinC，即?62?32cosC12sinC2sinC，可得cospC60q
?22.由于0ăCă120，所以sinpC60q?22，故sinCsinpC60
60qsinpC60qcos60
cospC60qsin60?6?24.18.解：(1)连结B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME{{B1C，且ME12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND12A1D.由题设可知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN{{ED.又MNĂ平面EDC1，所以MN{{平面C1DE.5.6.11.12.(2)由已知可得DEKDA.以D为坐标原点，ÝÑDA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D
xyz，则Ap2;0;0q，A1p2;0;4q，Mp1;?3;2q，Np1;0;2q，ÝÑA1Ap0;0;
4q，ÝÝÑA1Mp
1;?3;
2q，ÝÝÑA1Np
1;0;
2q，ÝÑMNp0;
?3;0q.设mpx;y;zq为平面A1MA的法向量，则#mÝÝÑA1M0mÝÑA1A0所以#
x?3y
2z0
4z0，可取mp?3;1;0q.设npp;q;rq为平面A1MN的法向量，则#nÝÑMN0nÝÝÑA1N0所以#
?3q0
p
2r0，可取np2;0;
1q.于是cosxm;nymn|m}n|2?32?5?155，所以二面角A
MA1
N的正弦值为?105.19.解：设直线l：y32xt，Apx1;y1q，Bpx2;y2q.(1)由题设得F34;0，故|AF||BF|x1x232，由题设可得x1x252.由$&%y32xty23x可得9x212pt
1qx4t20，则x1x2
12pt
1q9.从而
12pt
1q952，得t
78.所以l的方程为y32x
78.(2)由ÝÑAP3ÝÑPB可得y1
3y2.由$&%y32xty23x可得y2
2y2t0.所以y1y22.从而
3y2y22，故y2
1，y13.带入C的方程得x13，x213.故AB4?133.20.解：(1)设gpxqf1pxq，则gpxqcosx
11x，g1pxq
sinx1p1xq2.当xP

1;p2 时，g1pxq单调递减，而g1p0qą0，g1
p2 ă0，可得g1pxq在

1;p2 有唯一零点，设为a.则当xPp
1;aq时，g1pxqą0；当xP
a;p2 时，g1pxqă0.所以gpxq在p
1;aq单调递增，在
a;p2 单调递减，故gpxq在

1;p2 存在唯一极大值点，即f1pxq在

1;p2 存在唯一极大值点.(2)fpxq的定义域为p
1;8q.(1)当xPp
1;0s时，由（1）可知，f1pxq在p
1;0q单调递增，而f1p0q0，所以当xPp
1;0q时，f1pxqă0，故fpxq在p
1;0q单调递减.又fp0q0，从而x0是fpxq在p
1;0s的唯一零点.(2)当xP
0;p2时，由（1）知，f1pxq在p0;aq单调递增，在
a;