fdfghh高二数学(人教A版)选修2-1综合素质检测第三章空间向量与立体几何

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是()A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量2．在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝03．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，且a∥b则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°4．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB→⊥AC→，则λ等于()A．28B．－28C．14D．－145．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·(12b)等于()A．15B．3C．－3D．56．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则〈A′B→，B′D′→〉＝()A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，四面体OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝12MA，N为BC中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－13a＋12b＋12cC.12a＋12b－23cD.23a＋23b－12c8．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C是线段AB上一点，且ACAB＝13，则C点的坐标为()A.72，－12，52B.83，－3，2C.103，－1，73D.52，－72，329．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)10．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于()A．3B．4C．5D．611．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A.12B.22C.13D.16[答案]C[解析]如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．从而D1E→＝(1,1，－1)，AC→＝(－1,2,0)，AD1→＝(－1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则n·AC→＝0，n·AD1→＝0，即－a＋2b＝0，－a＋c＝0，得a＝2b，a＝c.令a＝2，则n＝(2,1,2)．所以点E到平面ACD1的距离为h＝|D1E→·n||n|＝2＋1－23＝13.12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于()A．120°B．60°C．75°D．90°[答案]D[解析]建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．则BA→＝(0,2,0)，GF→＝(1,1，－1)，C1E→＝(1,2，－1)，∴cos〈BA→，GF→〉＝|BA→·GF→||BA→|·|GF→|＝13，cos〈BA→，C1E→〉＝|BA→·C1E→||BA→|·|C1E→|＝23，∴cosα＝13，sinα＝23，cosβ＝23，sinβ＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a、b、c两两垂直，则(x，y，z)＝________.[答案](－64，－26，－17)[解析]由题意得－x＋2y－12＝0，x－4－4z＝0，－1－2y＋3z＝0，解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.14．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．[答案]14[解析]设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝22，A1C1＝B1D1＝2，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝h2－22，∴h＝62，∴A(0，－2，0)，D1(－22，0，62)，B1(22，0，62)，C(0，2，0)，∴AD1→＝(－22，2，62)，B1C→＝(－22，2，－62)，∴cos〈AD1→，B1C→〉＝AD1→·B1C→|AD1→|·|B1C→|＝14，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为14.15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为______．[答案]45°[解析]由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝2，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC边中点E，则PE＝22，AE＝22，又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．[答案]102[解析]过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM＝12，BM＝32，CN＝12，DN＝32，MN＝1.由于BD→＝BM→＋MN→＋ND→，∴|BD→|2＝(BM→＋MN→＋ND→)2＝|BM→|2＋|MN→|2＋|ND→|2＋2(BM→·MN→＋MN→·ND→＋BM→·ND→)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD→|＝102.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．[解析]设c＝λ1a＋λ2b，则3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75.即c＝15a－75b.∴a、b、c共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG→.[解析]∵BG＝2GD，∴BG→＝23BD→.又BD→＝BA→＋BC→＝PA→－PB→＋PC→－PB→＝a＋c－2b，∴PG→＝PB→＋BG→＝b＋23(a＋c－2b)＝23a－13b＋23c.19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1.(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．[解析]解法一：(1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.∴二面角C－AB－D的大小为45°.(3)过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH.∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°.在Rt△BHD中，BD＝2，∴BH＝22.又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1.解法二：(1)同解法一．(2)设AB＝a，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则B(0,0,0)，A(0,0，a)，C(0,1,0)，D(1,1,0)，BD→＝(1,1,0)，BA→＝(0,0，a)．平面ABC的法向量CD→＝(1,0,0)，设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有BD→·n＝x＋y＝0，BA→·n＝az＝0，∴z＝0，取y＝1，则x＝－1，∴n＝(－1,1,0)．∴cos〈CD→，n〉＝CD→·n|CD→||n|＝－22，由图可知二面角C－AB－D为锐角，∴二面角C－AB－D的大小为45°.(3)AC→＝(0,1，－a)，CD→＝(1,0,0)，BD→＝(1,1,0)．设平面ACD的一个法向量是m＝(x′，y′，z′)，则AC→·m＝y′－az′＝0，CD→·m＝x′＝0，令z′＝1，∴y′＝a，则m＝(0，a,1)．∵直线BD与平面ACD所成角为30°，∴cos〈BD→，m〉＝BD→·m|BD→||m|＝aa2＋1·2＝cos60°，解得a＝1，∴AB＝1.20．(本小题满分12分)底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠C＝π2，AA1＝AC，D为CC1上的点，且CC1＝3C1D，求二面角B－B1D－A的余弦值．[解析]以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AC＝3，则A(0,3,0)，B1(3,0,3)，D(0,0,2)．∴AD→＝(0，－3,2)，AB1→＝(3，－3,3)．设平面ADB1的法向量n＝(1，λ，μ)，则n·AD→＝0，n·AB1→＝0.即0－3λ＋2μ＝0，3－3λ＋3μ＝0，解得λ＝－2，μ＝－3.∴n＝(1，－2，－3)．又平面BB1D的法向量CA→＝(0,3,0)，∴cos〈n，CA→〉＝n·CA→|n||CA→|＝－614×3＝－147.由题意可知，二面角B－B1D－A为锐角，∴二面角B－B1D－A的余弦值为147.21．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．[解析](1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)．∴AC→＝(－2,2,0)，AF→＝(0,2,4)，BE→＝(－2，－2,1)，AE→＝(－2，0,1)．∵BE→·AC→＝0，BE→·AF→＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)解：由(1)知，BE→为平面ACF的一个法向量，∴点E到平面ACF的距离d＝|AE→·BE→||BE→|＝53.故点E到平面ACF的距离为53.22．(本小题满分14分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A